Lunghezza curva "asteroide"

[Demostene92]

Buongiorno a tutti.
Mi trovo davanti ad un problema e vi espongo come ho ragionato, ma non mi è comunque chiara una cosa.

Calcolare la lunghezza della curva detta "asteroide" di equazioni parametriche:

$\{(x = a(cost)^3),(y = a(sint)^3):}$

Io ho ragionato in questo modo, come mia solita prassi per determinarne la regolarità.
Ho derivato entrambe le equazioni parametriche e a questo punto ho valutato il primo punto che impone
la regolarità della curva, cioè che tutte le componenti parametriche siano derivabili in un certo intervallo.
Le componenti sono, ovviamente, derivabili entrambe nell'intervallo $(-infty ; +infty)$.
A questo punto ho valutato la seconda condizione di regolarità, ovvero che in un certo intervallo le
derivate delle componenti non si devono mai annullare contemporaneamente.
Le derivate si annullano insieme per i valori $t = k/2pi$
Quindi considerando i primi due punti di regolarità, un possibile intervallo in cui la curva si definisce
regolare potrebbe essere, ad esempio, $(0 ; pi/2)$

Poichè la lunghezza della curva è data da: $\int_a^b||dx/dt||$ calcolando la norma e integrando, ottengo
come risultato dall'integrazione $3/2a(sint)^2$.
A questo punto ho integrato tra $0$ e $pi/2$, ottenendo come risultato della lunghezza della curva $3/2a$.
Il risultato corretto però è $6a$.

Cercando su internet, ho visto che per calcolare la lunghezza della curva asteroide, si deve sostanzialmente
moltiplicare per $4$ l'integrale.In sostanza:

$4\int_0^(pi/2)3asintcost$ ottenendo $4 3/2a(sint)^2$ calcolato tra $0$ e $pi/2$.

E in effetti così facendo, il risultato è corretto.
Però io non riesco a capire qual è il punto sbagliato del mio ragionamento, perchè ripercorrendolo più
volte, non riesco a trovare il problema.

Vi ringrazio tutti, di cuore

[lordb]

Allora,una "parametrizzazione" della curva $alpha$ è data da $phi:{(x=a(cost)^3),(y=a(sint)^3):}|tin[0,2pi]$.

Segue allora che $phi':{(x=-3a(cost)^2sint),(y=3a(sint)^2cost):}|tin[0,2pi]$

$lung(alpha)=int_alpha ds_1=int_0^(2pi)sqrt(gamma_(phi'(t)))dt=int_0^(2pi)||phi'(t)||dt=int_0^(2pi)sqrt(9a^2cos^4t*sin^2t+9a^2sin^4t*cos^2tdt )=$
$= 3a*int_0^(2pi)sqrt(cos^2t*sin^2t*(cos^2t+sin^2t))dt=3a*int_0^(2pi)|cost*sint|dt=3/2a*int_0^(2pi)|2cost*sint|dt=$
$=3/2a*int_0^(2pi)|sin(2t)|dt=6a$.

Se fai variare $t$ da $0$ a $pi/2$ ottieni un quarto di curva!