Lunghezza curva

[romanovip]

Calcolare la lunghezza della curva espressa attraverso il grafico della funzione

$f(x)=(4/3+x)^(3/2)$ con $x->[0,1]$ come lo risolvo!?

[giampazero]

Ciao!

la lunghezza della curva corrisponde all' integrale del modulo geometrico della derivata prima... ovvero nel nostro caso

... vedendo la funzione costituita da due componenti $(x,f(x))$

ovvero $(x,(4/3 +x)^(3/2))$

deriviamo le componenti $d(x)/dx =1$ e $d((4/3 +x)^(3/2))/dx=3/2 (4/3 +x)^(1/2)$

scriviamo quindi l'integrale...

che sarà $int sqrt(1^2 + (f'(x))^2) dx $

$int sqrt(1^2 + (3/2 (4/3 +x)^(1/2))^2) dx $ ... e integri da [0,1]

... io non so integrare quindi fai te

[Sk_Anonymous]

La relazione per calcolare le lunghezze degli archi è la seguente:

Sia $f(x) in C^1(a,b)$; la lunghezza $L_{ab}$ del grafico di $f(x)$ , per $x in [a,b]$ è data da

$L_{ab}=int_a^b sqrt(1+[f'(x)]^2)$dx

Saluti.

[romanovip]

capito grazie

[Sk_Anonymous]

Di nulla.

Saluti.

[dissonance]

Per ricordarsi velocemente la formula che giustamente citano alessandro e giampazero si usa questo giochetto formale: siccome l'elemento di lunghezza è $ds^2=dx^2+dy^2$ (teorema di Pitagora applicato ad un pezzettino infinitesimo di curva), l'integrale da calcolare sarà
\[
\int_a^b ds = \int_a^b \sqrt{dx^2 + dy^2}, \]
e siccome la curva è parametrizzata dall'equazione $y=f(x)$, si ha che $dy=f'(x)dx$ e perciò
\[
\sqrt{dx^2+dy^2}=dx\sqrt{1+(f'(x))^2}.\]
Non è rigoroso ma è veloce e così uno fa meno sforzi di memoria.