Lunghezza cardioide

[alessandro.roma.1654]

scritta in forma polare

$\rho(\theta)=2(1+cos(\theta))$

$l(\theta)=int_(0)^(2pi)sqrt((-2sen(\theta))^2+(2+2cos(\theta))^2)=int_(0)^(2pi)sqrt((8+8cos(\theta)))=int_(0)^(2pi)2sqrt(2)sqrt((1+cos(theta)))sqrt(2)/sqrt(2)=4int_(0)^(2pi)cos(theta/2)=8sen(theta/2)|_(0)^(2pi)=0 $

ma come riporta un sito gia svolto http://www.****.it/forum/analisi-2n/29838-lunghezza-della-cardioide.html

dovrebbe uscire 16 la lunghezza

il problema da quanto ho capito è che ho scelto il modo sbagliato per fare integrale in quanto la primitiva che mi esce fuori mi rende nullo integrale in quel intervallo ma vedendo il sito sopra postato ho visto l integrale che ha svolto ed è una cosa lunghissima cè un altra strada da percorrere per farlo ?

non mi dite di farlo in forma parametrica che svolgendo le derivate di x,y e facendo il quadrato de trinomio e del monomio mi esce

$int_(0)^(2pi)sqrt(8)sqrt(sen(theta)^2cos(theta)^2+cos(theta)+1)$ e per svolgere integrale non so dove mettere le mani

[ostrogoto1]

$ sqrt(1+cos(theta))=sqrt(2cos^2(theta/2))=sqrt(2)|cos(theta/2)| $

quindi per esempio spezzando l'integrale:
$ int_(0)^(2pi) |cos(theta/2)| d\theta=int_(0)^(pi) cos(theta/2) d\theta-int_(pi)^(2pi) cos(theta/2)d\theta=2+2=4 $

[alessandro.roma.1654]

ma non capisco per quale motivo hai posto $sqrt(1+cos(theta))=sqrt(2cos(theta/2)^2)$

[ostrogoto1]

Non e' un'imposizione, ma un calcolo usando formule di trigonometria:

$ cos(theta)=cos (2*theta/2)=cos^2(theta/2)-sen^2(theta/2)=cos^2(theta/2)-1+cos^2(theta/2)=2cos^2(theta/2)-1 $
da cui

$ sqrt(1+cos(theta))=sqrt(2cos^2(theta/2))=sqrt(2)|cos(theta/2)| $

ho solo riscritto in dettaglio il conto che tu hai riportato nel messaggio precedente, con la correzione del modulo del cos quando si toglie la radice.

[alessandro.roma.1654]

ok ma la lunghezza finale deve uscire $16$ ma secondo il tuo risultato esce $8sqrt(2)$

[ostrogoto1]

No, con i miei conti viene proprio 16!
$ l(theta)=int_(0)^(2pi) sqrt((f'(theta))^2+f^2(theta)) d\theta=int_(0)^(2pi) sqrt(4sen^2(theta)+4(1+cos(theta))^2)d\theta= $
$ =int_(0)^(2pi) sqrt(4sen^2(theta)+4+4cos^2(theta)+8cos(theta))d\theta=sqrt(8)int_(0)^(2pi) sqrt(1+cos(theta))d\theta= $
usando il calcolo trigonometrico indicato nel messaggio precedente
$ =sqrt(8)int_(0)^(2pi)sqrt(2cos^2(theta/2))d\theta=sqrt(8*2)int_(0)^(2pi)|cos(theta/2)|d\theta=4int_(0)^(2pi)|cos(theta/2)|d\theta=$
$ =4int_(0)^(pi)cos(theta/2)d\theta-4int_(pi)^(2pi)cos(theta/2)d\theta=4*[2sen(theta/2)]_(0)^(pi)-4*[2sen(theta/2)]_(pi)^(2pi)= $
$ =8+8=16 $

[dissonance]

@alessandro: Se la lunghezza ti viene 0, non è che "hai sbagliato la primitiva" (espressione che non significa nulla: il valore di un integrale è sempre quello e non dipende certo da come decidi di calcolarlo). Hai invece sbagliato una identità trigonometrica, saltandoti un valore assoluto, come ti ha scritto ostrogoto.

[alessandro.roma.1654]

grazie ostrogoto dopo ci sono arrivato da solo mentre rifacevo integrale. invece per dissonance a me non pare di aver sbagliato identità trigonometrica in quanto $cos(theta/2)=sqrt((1+cos(theta))/2)$ quindi ho solo sostituito e su le formule non ricordo che il coseno di teta mezzi fosse con il modulo... anche se come dici tu avrei sbagliato la trigonometria ho un altro esercizio che ti posto qui per far vedere che mi esce uguale a zero

$sqrt(18)int_(0)^(2pi)sqrt(1-cos(x))$

posto $cos(x)=t$ $ dt=-1/sqrt(1+t^2)$ quindi

$-sqrt(18)int_(0)^(2pi)sqrt(1-t)/sqrt(1-t^2)=-sqrt(18)int_(0)^(2pi)1/sqrt(1+t)=-2sqrt(18)sqrt(1+cos(t)) |_(0)^(2pi)=0$

invece $sqrt(18)int_(0)^(2pi)sqrt(1-cos(x))sqrt(2)/sqrt(2)=6 int_(0)^(2pi)sqrt((1-cos(x))/2)$

per come ho fatto prima sostituisco con il senx/2

$6 int_(0)^(2pi)sin(x/2)=-12cos(x/2)|_(0)^(2pi)=24$

sicuramente avrete ragione voi non voglio insistere su le cose ma almeno voglio capire perche facendo in un modo o nel altro mi escono e non mi escono anche perche quest ultimo passaggio che sostituisce il $sen(x/2)$ con la radice di 1- cos(x) diviso 2 la fatto la mia prof percio lei non ha considerato il modulo e perche per il coseno deve essere considerato ?? aggiungo che intervallo di integrazione e lo stesso $[0,2pi]$ percio neanche a dire che è stata fatta un ipotesi che il seno è positivo in tale intervallo che non è vero in quanto il seno è positivo solamente in $[0,pi]$ percio ditemi voi

[ostrogoto1]

Dunque hai scritto: $ cos(theta/2)=sqrt((1+cos(theta))/2) $ ma questa formula e' falsa perche' per $ 2pi>theta>pi" "cos(theta/2)<0 $ e quindi come puo' essere uguale a una radice che sempre positiva??

In generale:
$ sqrt(f^2(x))=|f(x)| $

[alessandro.roma.1654]

dunque forse ci sto arrivando allora partendo dalle basi della trigonometria allora sappiamo che il

$ cos(theta)>0$ con $(-pi/2
$cos(theta/2)>0$ $(-pi/2
quindi la formula vale per $-pi
mentre per il seno

$sen(theta)>0$ $(0
$sen(theta/2)>0$ $(0
quindi la formula vale per $0

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