Lunghezza arco
esercizio:si calcoli la lunghezza dell'arco della parabola semicubica y^2=x^3 compreso tra i punti (0,0) e (4,8). si determini inoltre l'area della superficie laterale ottenuta ruotando detto arco rispettivamente attorno all'asse x e all'asse y. grazie mille per l'aiuto,un saluto a tutti.
Risposte
puoi parametrizzare la curva così:
x=t^2
y=t^3
Il vettore tangente è:
x'=2t
y'=3t^2
La norma di tale vettore è:
sqrt((2t)^2+(3t^2)^2)= |t|*sqrt(4+9t^2)
Basta integrarla tra gli estremi opportuni e avremo la lunghezza.
Se x va da 0 a 4 allora t va da 0 a 2.
Il modulo a t lo possiamo anche togliere a sto punto. L'integrale di quella norma è immediato e vale:
1/27 * (4+9t^2)^(3/2)
che calcolato tra 0 e 2 dà la lunghezza L dell'arco:
L=8/27 * (10^(3/2) - 1)
la seconda parte la faccia qualcun altro...!
x=t^2
y=t^3
Il vettore tangente è:
x'=2t
y'=3t^2
La norma di tale vettore è:
sqrt((2t)^2+(3t^2)^2)= |t|*sqrt(4+9t^2)
Basta integrarla tra gli estremi opportuni e avremo la lunghezza.
Se x va da 0 a 4 allora t va da 0 a 2.
Il modulo a t lo possiamo anche togliere a sto punto. L'integrale di quella norma è immediato e vale:
1/27 * (4+9t^2)^(3/2)
che calcolato tra 0 e 2 dà la lunghezza L dell'arco:
L=8/27 * (10^(3/2) - 1)
la seconda parte la faccia qualcun altro...!
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