L'operatore di Sturm-Liouville è autoaggiunto?

[dissonance]

Questo topic è collegato a quest'altro che però non vorrei intasare troppo.

Cercando di risolvere l'esercizio dell'altro topic mi sono informato su una classe di problemi ai limiti detti di Sturm-Liouville.
Si tratta di questo:

[tex]$ \begin{cases} \frac{d}{d x}(p(x) \frac{d u}{d x}) + q(x)u(x) + \lambda u(x)=0 \\ \alpha_1 u(a)+ \alpha_2 u'(a)=0, \quad \beta_1 u(b)+\beta_2 u'(b)=0 \end{cases}[/tex]

dove [tex]x \in [a, b],\ p, q \in C^1[a, b],\ p>0[/tex].

Ho consultato allo scopo il libro di Debnath-Mikusinski e le dispense di Luigi Greco; tutte e due le fonti mi hanno lasciato l'impressione di stare omettendo qualcosa, magari perché molto banale ma io non riesco a vederlo.

In sostanza vogliamo trattare il problema come se fosse l'equazione agli autovalori di un operatore differenziale in [tex]L^2[a, b][/tex]

[tex]$Lu=\frac{d}{d x}(p(x) \frac{d u}{d x}) + q(x)u(x)[/tex]

definito su una classe di funzioni che verificano le condizioni ai limiti e che, secondo entrambi gli autori, risulta essere autoaggiunto. Per mostrare questo entrambi verificano l'identità

[tex]$(Lu, v)=(u, Lv)[/tex]

per ogni coppia [tex]u,v \in C^2 [a, b][/tex] che verificano le condizioni ai limiti. Ma a questo punto non è mica finita, dico io. Infatti tanto per cominciare il dominio "giusto" dovrebbe essere [tex]\{u \in H^2(a, b)\mid u\ \text{verifica le condizioni ai limiti}\}[/tex], altrimenti non penso che [tex]L[/tex] venga fuori chiuso. In secondo luogo l'ultima identità prova che [tex]L[/tex] è simmetrico, ovvero che [tex]L \subset L^{\star}[/tex], ma manca di far vedere che [tex]D(L^\star)\subset D(L)[/tex].

Mi sbaglio?

[gugo82]

Ma non sta sul Brezis questa robetta qui?

[ViciousGoblin]

Penso che si debba considerare la "chiusura $L^2$" dell'operatore definito in $\Phi:={u\in C^2 " che verificano le condizioni al bordo"}$ nel modo tradizionale.
Di dovrebbe cioè considerare
$\bar Lu=v$ se e solo se esiste una successione $(u_n)$ in $\Phi$ tale che $u_n\to u$ e $L u_n\to v$ (convergenze in $L^2$). In questa definizione
è definito anche il dominio $\bar D$.

Con un po' di pazienza dovrebbe venire tutto (ma ci vogliono tutti i conticini). Probabilmente ci sono delle ipotesi abbastanza generali per fare i conti una volta per tutti.

[ViciousGoblin]

"ViciousGoblin":Penso che si debba considerare la "chiusura $L^2$" dell'operatore definito in $\Phi:={u\in C^2 " che verificano le condizioni al bordo"}$ nel modo tradizionale.
Di dovrebbe cioè considerare
$\bar Lu=v$ se e solo se esiste una successione $(u_n)$ in $\Phi$ tale che $u_n\to u$ e $L u_n\to v$ (convergenze in $L^2$). In questa definizione
è definito anche il dominio $\bar D$.

Con un po' di pazienza dovrebbe venire tutto (ma ci vogliono tutti i conticini). Probabilmente ci sono delle ipotesi abbastanza generali per fare i conti una volta per tutti.

EDIT Ho provato a fare i conti e non mi torna nulla (l'ora è tarda ...). Mi sembra di capire (leggendo le cose in rete) che l'approccio più utilizzato sia di considerare l'operatore inverso, risolvendo il problema $Lu=f$ (di modo che si ha un operatore compatto su $L^2$ e non c'è il problema dei domini).
Nel caso della condizione al bordo di Dirichlet questo è facile (e così fa il Brezis) ma nel caso generale descritto da dissonance la cosa è un po' meno evidente. Credo non sia difficilissimo (io cercherei di trasformare l'equazione $Lu=f$ nel problema di minimo per $I(u)=\int_a^b p(u')^2+q u^2-2fu $ su un opportuno sottospazio, individuare il quale
mi pare il punto). Ci penso un po' - se qualcuno sa la risposta standard si faccia avanti !

[dissonance]

Caspita VG, ti ringrazio per l'interessamento! Per quanto riguarda l'operatore inverso compatto si può pure costruire direttamente, l'ho letto poco fa. Infatti si possono considerare i problemi di Cauchy

[tex]$\begin{cases} Lu=0 \\ u(a)=-\alpha_2 \\ u'(a)=\alpha_1 \end{cases} \qquad \begin{cases}Lu=0 \\ u(b)=-\beta_2 \\ u'(b)=\beta_1\end{cases}[/tex]

dai quali ricavare le soluzioni [tex]u_1, u_2[/tex], che risulteranno linearmente indipendenti se [tex]\lambda=0[/tex] non è autovalore.

A questo punto si risolve il sistema usando il metodo della variazione delle costanti arbitrarie e dopo un po' di conticini si arriva all'espressione della soluzione in forma

[tex]$u(x)=\int_a^b G(x, t)f(t)\, dt[/tex]

dove

[tex]$G(x, t)=\begin{cases} \dfrac{u_2(x)u_1(t)}{p(t)W_{u_1, u_2}(t)} & a \le t \le x \\ \dfrac{u_1(x)u_2(t)}{p(t)W_{u_1, u_2}(t)} & x \le t \le b \end{cases}[/tex] ([tex]W[/tex] sta per determinante Wronskiano)

è la funzione di Green dell'operatore [tex]L[/tex].

E quindi, se è ingettivo, [tex]L[/tex] è l'inverso di un operatore autoaggiunto compatto.

A questo punto, se ho capito bene come funziona, dobbiamo calcolare il rango di questo operatore compatto: questo sarà il dominio dell'estensione autoaggiunta di [tex]L[/tex] che cerchiamo. Però adesso è tardi, vediamo domani!

Grazie ancora, VG!

[ViciousGoblin]

@dissonance

Provo a postarti qualche dettaglio riguardo all'ultima cosa che ho scritto, anche se il metodo della funzione di Green funziona sicuramente.
Diciamo che l'approccio a cui pensavo usa meno proprietà esplicite. Faccio i conti in $L^2$ - si dovrebbe poter fare tutto
anche in $H^1$ risparmiando qualche infinito, a meno di qualche piccola complicazione .

Supponiamo $p>0$ e $q>0$ continue su $[a,b]$. (la condizione su $q$ poi si può rimuovere).
Consideriamo $X:={u\in C^2:" verifica le condizioni al bordo"}$ e per $u$ in $X$ definiamo
$J(u):=1/2 \int_a^b(p(u')^2+qu^2)$. Definiamo infine per ogni $u$ in $L^2$
$I(u):="liminf"_{v\to u}J(v)$

E' chiaro che $I(u)\in[0,+\infty]$ dati i segni di $p,q$. Si vede facilmente che $I$ è convesso e semicontinuo e che
(*) $I(u)\geq\nu ||u||_{H^1}^2$ con $\nu>0$
(perché $p$ e $q$ sono lontani da zero in $[a,b]$). Il dominio $D$ di $I$ è quindi uno spazio lineare contenuto
in $H^1$ (che "tiene traccia" della condizione al bordo" - probabilmente è l'$H^2$ di cui parlavi tu).

A causa di tutto questo si vede che (nell'ordine):
1) per ogni $f$ di $L^2$ il funzionale $I_f$ definito da $I_{f}(u):=I(u)-\int_a^b fu$ ha le stesse proprietà di $I$
2) tale $I_f$ ammette un unico punto di minimo $u_f$ in $D$
3) vale l'equazione $-(pu'_f)'+qu_f=f$ (+ cond. al cont.), in senso debole, cioè
$\int(pu_f'\phi'+qu_f\phi-f\phi)=0$ per ogni $\phi$ di $D$ (in particolare di $X$)
(qui ci vorrà un po' di lavoro per convincersi che l'eq. debole ti dà effettivamente soluzioni del problema, quando $f$ è sufficientemente regolare)

A questo punto si definisce l'operatore $K$ da $L^2$ a $L^2$ mediante $K f:=u_f$ e si dimostra che $K$ è compatto e autoaggiunto.
La compattezza segue da (*) e l'altra proprietà dovrebbe essere immediata dal fatto che $K$ è stato ottenuto in modo variazionale
(quindi la simmetria dovrebbe giocare nel passaggio dall'equazione debole all'equazione).
Questo è un modo di procedere su cui (a parte qualche imprecisione che potrebbe essermi sfuggita) su cui sono pronto a scommettere
e che coincide con ciò che fa Brezis nel suo libro, nel caso del problema di DIrichet, in cui $D=H_0^1$.

Sono peraltro sicuro che è possibile girare dall'altra parte, usando l'operatore illimitato $L$ da cui siamo partiti e quando ho tempo cerco di capire bene come.

[ViciousGoblin]

@dissonance
Ho scritto una stupidata di cui mi sono reso conto via via che ci ripensavo ( e ti chiedo scusa se ti ho fatto perdere tempo).
Abituato al problema di Dirichelet avevo l'impressione che il problema
"misto" si facesse allo stesso modo, ma mi sono accorto, ricostruendo la cosa, che quella chiusura a cui accennavo nell'altro messaggio
restituisce tutto $H^1$ e quindi non serve a nulla ( a meno che $\alpha_2=\beta_2=0$, nel qual caso si trova $H_0^1$ e viene -correttamente- il problema con dati nulli agli estremi).
Continuando a pensarci mi è tornato in mente qual è l'approccio (variazionale) giusto per il problema:

(SL) $ -(pu')'+qu=f$ con condizioni $\alpha_1 u(a)+\alpha_2 u'(a)=\beta_1 u(b)+\beta_2 u'(a)0$.

Te lo indico (caso mai ti interessasse ...).

Fissiamo due numeri $\alpha$ e $\beta$ e consideriamo la seguente forma bilineare su $H^1(a,b)$

$l(u,v):=\int_a^b (p u' v' +q u v)+\alpha u(a)v(a)+\beta u(b)v(b)$

(è sensato usare $u(a),v(a)$ e $u(b),v(b)$ dato che le funzioni di $H^1(a,b)$ sono continue). Stiamo supponendo $p$ e $q$ continue e strettamente positive (quindi lontane da zero - come dicevo l'ipotesi su $q$ si potrebbe rimuovere, ma per ora teniamola). Si vede allora che $l$ induce un prodotto scalare su $H^1$ equivalente a quello usuale
(a causa delle ipotesi su $p$ e $q$ e della simmetria di cui si parla dall'inizio). Allora per ogni $f$ in $L^2$ (per esempio) si può considerare il funzionale lineare
$u\mapsto Phi_{f}(u):= \int_a^b fu$ che risulta ovviamente continuo rispetto ad $H^1$. Dunque esiste $u=u_f$ tale che
(WE) $l(u,v)=\Phi_{f}(v)$ per ogni $v$ di $H^1$.
Lascio per esercizio la dimostrazione che la soluzione $u_f$ dell'equazione debole (WE), nell'ipotesi che $p$ sia $C^1$, è $C^1$, verifica l'equazione in (SL) con la condizione al contorno

$\alpha u(a)-p(a)u'(a)=\beta u(b)-p(b)u(b)=0$

per cui scegliendo opportunamente $\alpha$ e $\beta$ si è risolto (SL).

Tutto questo,per inciso, corrisponde a minimizzare il funzionale $\int_a^b(p(u')^2+q u^2)+\alpha u(a)^2+\beta u(b)^2$, ma lasciamo perdere.

A questo c'è da dimostrare la compattezza dell'operatore $f\mapsto u_f$ e il fatto che questo operatore è simmetrico (per usare la teoria spettrale).


Spero non ci siano altri errori clamorosi (comunque sulla sostanza sono sicuro).

[dissonance]

Si, penso di avere capito. Questa tecnica mi permetterebbe di mostrare l'esistenza e l'unicità della soluzione del problema senza dovere fare tutti i conti per trovare la funzione di Green. La dipendenza continua da [tex]f[/tex] la potremo ottenere dal fatto che l'operatore di Sturm-Liouville è chiuso, dunque se l'inverso è definito ovunque è automaticamente limitato; e questo basta ai nostri scopi (il problema è nato dal calcolo dello spettro di un operatore lineare).

Per togliere le ipotesi su [tex]q[/tex] ci sarà da giocare un po' col teorema di Lax-Milgram, immagino. Appena ho tempo provo a pensarci un po' e poi scrivo qui quello che ho concluso.

Grazie ancora, VG!!!

[ViciousGoblin]

"dissonance":La dipendenza continua da [tex]f[/tex] la potremo ottenere dal fatto che l'operatore di Sturm-Liouville è chiuso, dunque se l'inverso è definito ovunque è automaticamente limitato; e questo basta ai nostri scopi (il problema è nato dal calcolo dello spettro di un operatore lineare).

Non dovrebbe essere necessario usare le proprietà dell'operatore di SL - anzi queste proprietà dovrebbero essere deducibili (altrimenti che gusto c'è ).

Per la continuità e la compattezza di $Af=u_f$ (NOTA che considero $A$ a valori in $L^2$, quindi dopo aver trovato $u_f$ in $H^1$ la immergo in $L^2$), dovrebbero bastare
dei ragionamenti abbastanza semplici. Vediamo per esempio la compattezza:

1) se $(f_n)$ è limitata in $L^2$, allora verifichi che $u_{f_n}$ è limitata in $H^1$ (moltiplicando l'equazione per $u_{f_n}$, integrando e sfruttando le proprietà di $p$ e $q$);
2) allora una sottosuccessione $(u_{f_{n_k}})$ ammette limite debole $u$ in $H^1$:
3) dato che l'immersione di $L^2$ in $H^1$ è compatta è ovvio che $u_{f_{n_k}}\to u$ in $L^2$.

La continuità si fa in modo analogo, partendo da $(f_n)$ che converge a un $f$ e provando che la $u$ del punto 2) deve essere $u_f$ ( e quindi per l'unicità di $u_f$ tutta la
successione $(u_{f_n})$ converge a $u_f$.

"dissonance":
Per togliere le ipotesi su q ci sarà da giocare un po' col teorema di Lax-Milgram, immagino.

Per rimuovere l'ipotesi su $q$ in effetti devi confrontarti con il fatto che la forma bilineare $l$ ha degli spazi, peraltro di dimensione finita, su cui è negativa.
Un trucco che dovrebbe funzionare,(mi pare, ma devi controllare perché credo di essermelo inventato io, dunque ...),
se sei interessato all'analisi spettrale, potrebbe essere questo: prendi una costante $Q$ tale che $q_1:=q+Q\geq 1$, fai la decomposizione spettrale per l'operatore
con $p$ e $q_1$. Trovi due successioni $(\lambda_n)$/$(e_n)$ di autovalori / autovettori per questo secondo problema (con le solite proprietà). Allora
$(\lambda_n-Q)$ / $(e_n)$ dovrebbero fornirti la decomposizione spettrale per l'operatore di partenza.

[dissonance]

@VG: Il trucco di sostituire $q$ con $q_1$ è ingegnoso!!! Mi pare che funzioni benissimo, in pratica non fai altro che cambiare l'equazione agli autovalori

$Lu+\lambda u=0$

con

$Lu+(Q+\lambda) u=0$

Semplice ed efficace.

Sulla faccenda della continuità e della compattezza, metti il dito in una mia piaga - i teoremi di immersione di Rellich; sono un argomento che ho bisogno di studiare (e devo farlo, perché mi servirà; sai, sto lavorando alla tesi di laurea, che riguarda l'equazione di Schroedinger, te l'avevo già detto?), ma prima devo finire di studiare i fondamenti della teoria spettrale.

A occhio però mi pare che tu stia usando una immersione compatta del tipo [tex]C^1[a, b] \hookrightarrow \hookrightarrow C^0[a, b][/tex]: se una successione di funzioni è uniformemente limitata e le derivate sono uniformemente limitate, allora per il teorema di Ascoli-Arzelà esiste una estratta uniformemente convergente. Mi pare proprio che il risultato usato da te sia analogo.

[ViciousGoblin]

Riguardo alla compattezza dell'immersione di $H^1$ in $L^2$, dato che siamo in una variabile si può passare da Ascoli-Arzelà dimostrando la compattezza dell'immersione di
$H^1$ in $C^0$. Per questo si può passare per la formula
$u(x)-u(y)=\int_x^yu'(t)dt$ (che si dimostra con un po' di pazienza) da cui, usando Hoelder
$|u(x)-u(y)|\leq\sqrt{x-y}||u||_{H^1}$.

Ne segue che se una successione è limitata in $H^1$ essa è equi hoelderiana di esponente $1/2$.