L'operatore aggiunto ha rango finito?
Ho incorporato nella tesi di laurea una congettura: se [tex]\mathcal{H}[/tex] è uno spazio di Hilbert e [tex]K\colon \mathcal{H}\to \mathcal{H}[/tex] un operatore limitato e di rango finito, allora anche l'operatore aggiunto [tex]K^\star[/tex] ha rango finito; per giustificarla ho scritto: "è facile dimostrare che..." 
Ma pensandoci meglio non mi pare affatto facile. Sarà mica falso?
Ma pensandoci meglio non mi pare affatto facile. Sarà mica falso?
Risposte
Se [tex]A \in \mathcal B(\mathcal H)[/tex] ha rango $n \in \mathbb N$, sia [tex]\{u_k\}_{k=1}^n[/tex] un sistema ortonormale completo in [tex]A(\mathcal H)[/tex]. Posto [tex]v_k := A^* u_k[/tex], per ogni $\varphi \in \mathcal H$ si ha
[tex]A\varphi = \sum_{k=1}^n (A\varphi|u_k) u_k = \sum_{k=1}^n (\varphi|v_k) u_k[/tex]. Da questa espressione segue che [tex]\mathcal H \ni \psi \mapsto A^* \psi = \sum_{k=1}^n (\psi|u_k) v_k[/tex], dunque anche [tex]A^*[/tex] ha rango finito, pari a $n$ (infatti, questo mostra che [tex]\mbox{rank}(A^*) \leq \mbox{rank}(A)[/tex]; scambiando [tex]A[/tex] e [tex]A^*[/tex] si ottiene la disuguaglianza opposta).
Edit: chiarito un punto.
[tex]A\varphi = \sum_{k=1}^n (A\varphi|u_k) u_k = \sum_{k=1}^n (\varphi|v_k) u_k[/tex]. Da questa espressione segue che [tex]\mathcal H \ni \psi \mapsto A^* \psi = \sum_{k=1}^n (\psi|u_k) v_k[/tex], dunque anche [tex]A^*[/tex] ha rango finito, pari a $n$ (infatti, questo mostra che [tex]\mbox{rank}(A^*) \leq \mbox{rank}(A)[/tex]; scambiando [tex]A[/tex] e [tex]A^*[/tex] si ottiene la disuguaglianza opposta).
Edit: chiarito un punto.
Ma certo dissonance!
Come ti fa notare rbtqwt è proprio un fatto che discende dalla definizione di aggiunto.
Anzi, la cosa è vera anche se l'operatore è tra due spazi di Banach qualsiasi (al prodotto scalare devi sostituire ovviamente il prodotto di dualità ed, ovviamente, l'aggiunto sarà un operatore tra i duali).
Forse se n'era parlato anche tempo fa... Ora cerco un po': ecco!
Come ti fa notare rbtqwt è proprio un fatto che discende dalla definizione di aggiunto.
Anzi, la cosa è vera anche se l'operatore è tra due spazi di Banach qualsiasi (al prodotto scalare devi sostituire ovviamente il prodotto di dualità ed, ovviamente, l'aggiunto sarà un operatore tra i duali).
Forse se n'era parlato anche tempo fa... Ora cerco un po': ecco!
Che bello, era veramente facile!!! 
Grazie ragazzi!!!
@gugo: Mi stai facendo venire la tentazione di sostituire tutte le [tex]\mathcal{H}[/tex] con le [tex]\mathfrak{H}[/tex]! Devo provare, magari viene bene.
Grazie ragazzi!!!@gugo: Mi stai facendo venire la tentazione di sostituire tutte le [tex]\mathcal{H}[/tex] con le [tex]\mathfrak{H}[/tex]! Devo provare, magari viene bene.
Ecco, scrivo qui la congettura (che poi è una banalità, eh). Voglio mostrare che gli operatori di rango finito sono, in sostanza, delle applicazioni lineari tra spazi di dimensione finita.
Sia [tex]\mathfrak{H}[/tex] uno spazio di Hilbert e [tex]A\colon \mathfrak{H}\to\mathfrak{H}[/tex] un operatore limitato di rango finito. Prendiamo una base ortonormale [tex]y_1 \ldots y_n[/tex] di [tex]R(A)[/tex] (intendo il rango, o forse è meglio dire immagine, di [tex]A[/tex]) e una base ortonormale [tex]x_1 \ldots x_n[/tex] di [tex]R(A^\star)[/tex]. Definiamo una matrice [tex]\begin{bmatrix} A_{i, j} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (A^\star y_i, x_j) \end{bmatrix}[/tex]; allora
[tex]$Ax=\sum_{i=1}^n (x, A^\star y_i)y_i= \sum_{i, j=1}^n A_{i,j}(x,x_j)y_i[/tex]
ovvero, tutte le informazioni necessarie a ricostruire [tex]A[/tex] sono contenute nella matrice [tex]\begin{bmatrix} A_{i, j} \end{bmatrix}[/tex]. Possiamo decomporre [tex]\mathfrak{H}[/tex] come
[tex]\mathfrak{H}= R(A^\star) \boxplus R(A^\star)^\bot[/tex]
e osservare che [tex]A[/tex] è il prolungamento lineare a zero di un operatore [tex]R(A^\star) \to R(A)[/tex], rappresentato dalla matrice [tex]A_{i.j}[/tex] nelle due basi [tex]x_1 \ldots x_n, y_1 \ldots y_n[/tex].
Sia [tex]\mathfrak{H}[/tex] uno spazio di Hilbert e [tex]A\colon \mathfrak{H}\to\mathfrak{H}[/tex] un operatore limitato di rango finito. Prendiamo una base ortonormale [tex]y_1 \ldots y_n[/tex] di [tex]R(A)[/tex] (intendo il rango, o forse è meglio dire immagine, di [tex]A[/tex]) e una base ortonormale [tex]x_1 \ldots x_n[/tex] di [tex]R(A^\star)[/tex]. Definiamo una matrice [tex]\begin{bmatrix} A_{i, j} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} (A^\star y_i, x_j) \end{bmatrix}[/tex]; allora
[tex]$Ax=\sum_{i=1}^n (x, A^\star y_i)y_i= \sum_{i, j=1}^n A_{i,j}(x,x_j)y_i[/tex]
ovvero, tutte le informazioni necessarie a ricostruire [tex]A[/tex] sono contenute nella matrice [tex]\begin{bmatrix} A_{i, j} \end{bmatrix}[/tex]. Possiamo decomporre [tex]\mathfrak{H}[/tex] come
[tex]\mathfrak{H}= R(A^\star) \boxplus R(A^\star)^\bot[/tex]
e osservare che [tex]A[/tex] è il prolungamento lineare a zero di un operatore [tex]R(A^\star) \to R(A)[/tex], rappresentato dalla matrice [tex]A_{i.j}[/tex] nelle due basi [tex]x_1 \ldots x_n, y_1 \ldots y_n[/tex].
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