$log(f)$ , infinitamente piccolo?

[Kashaman]

Mi chiedevo se vale la seguente :

Sia $f : A -> RR$ , $0 \in Dr(A)$. e supponiamo che $f$ sia infinitesima di ordine $\alpha$ in $0$. Allora
$log(f(x)$ per $x->0$ è un infinito di ordine infinitamente piccolo.

Ho provato a dimostrare questo fatto :

Infatti, se $f$ è infinitesimo di ordine $\alpha$ , vuol dire che $f=x^{\alpha}+o(x^{\alpha})$ (1)
Considero $lim_{x->0} x^{\beta} log(f(x))$ (2)
Dalla (1) due è equivalente a $lim_{x->0} x^{\beta} log(x^{\alpha}+o(x^{\alpha}))$ (3)

sfruttando il principio di eliminazione degli infinitesimi di ordine superiore
(3)=$lim_{x->0} log(x^{\alpha})x^\beta =lim_{x->0 } \alphax^\beta log(x)=0*\alpha=0 , AA \beta in RR$. cioè la tesi.

Molto facilmente, penso si mostri che se $f->+\infty$ di ordine $\alpha$ per $x->+\infty$ allora $log(f)$ per $x->+\infty$ è infinitamente piccolo.

Ammesso che le mie supposizioni siano giuste, cosa succede se ad esempio per $x->+\infty$ $f$ è un infinito infinitamente grande ?

Grazie mille.

[gugo82]

Può accadere di tutto.

Prendi al posto di \(f(x)\) di volta in volta: \(f_1(x):=e^x\), \(f_2(x):=e^{x^2}\), \(g_1(x):=e^{f_1(x)}\), \(g_2(x):=e^{f_2(x)}\), \(h_1(x):=e^{g_1(x)}\), \(h_2(x):=e^{g_2(x)}\), etc...

[Kashaman]

Hai ragione gugo. Proprio ieri mi è venuta l'illuminazione, ad esempio $f(x) = ln(e^x-1)$ è un infinito di ordine 1 per $x->+\infty$ , sbalorditivo

Ti ringrazio per la risposta.

[gio73]

Le rette tipo $f(x)=mx+q$ sono infiniti di ordine 1 per x che tende ad infinito?
Scusate la domanda, ma ho provato a immaginarmi il grafico della funzione di Kash e mi pare che per x che tende a $+oo$ si approssimi alla bisettrice del I quadrante, zeri ce ne è uno solo per tornare ai discorsi che facevamo con MrMazzar.
Ci sono o ho detto una scempiaggine?

[Kashaman]

Sì giò! sono di ordine 1.
Infatti $lim_{x->+\infty} f(x)/x^{\alpha} =1 $ se $\alpha=1$

EDIT : Sì , se pigliamo $h(x)=log(e^x-1)$ questa funzione ha un solo zero.
Infatti, innanzi tutto notiamo che è ben definita se e solo se
$e^x-1>0 <=> e^x>1 <=> x>log(1)=0$ quindi è una funzione di dominio $]0,+\infty[$.
Per $x->0^+ => f(x) -> -\infty$ e per $x->+\infty => f(x) ->+\infty$ <-- questo ci dice $EE \alpha \in RR t.c f(\alpha)=0$.
Studiando $f'(x)=e^x/(e^x-1)$ .. $f'>0 AA x \in Domf => f $ strettamente crescente. Dunque $f$ ha uno ed un solo zero.
Qui comunque è più facile determinarlo, infatti l'equazione $f(x)=0$ è risolubile algebricamente. Infatti
$f(x)=0<=> log(e^x-1)=0 <=> e^x-1=1 <=> e^x=2 <=> x=log(2)$

EDIT 2 : L'unicità dello zero può essere intesa anche in questo modo, generalizzo con questa piccola proposizione.

Sia $f : (a,b) -> RR$ . Qualsiasi. Supponiamo che valgano le seguenti ipotesi :
$EE lim_{x->a} f(x)=+\infty$(oppure $-\infty$) , $EE lim_{x->b} f(x)=-\infty$ (oppure $+\infty$). (1)
E supponiamo che $f$ sia strettamente monotona in $(a,b)$ , allora $EE ! \alpha \in RR : f(\alpha)=0$.

La dimostrazione di questo fatto si poggia su un teorema forte, quello degli zeri, che è tutt'altro che banale e semplice da dimostrare (la dimostrazione del teorema degli zeri l'affronterò il prossimo semestre) , quindi circa l'esistenza ci poggiamo su tale teorema e lo diamo per "buono".
Dunque, $f$ ammette almeno uno zero dal momento in cui valgono (1).
Circa l'unicità è tutto più semplice.
Supponiamo per assurdo che $EE \alpha, \beta \in RR : f(\alpha)=f(\beta)=0$ (1).
Per ipotesi $f $ è strettamente monotona , dunque in particolare $f$ è iniettiva (2).
(1) e (2) sono in contraddizione . Assurdo.

Se dico fregnacce, correggetemi