Logaritmo complesso

[Clorinda1]

Buonasera a tutti, ho da risolvere un esercizio che mi assilla da qualche giorno e non riesco a venirne a capo...

Si tratta di trovare i numeri [tex]w=log(z^4)-4log(|z|)[/tex]

So dalla teoria che in generale, dato [tex]z \in \mathbb{C}[/tex] si ha:

[tex]log(z)=log(|z|) + i*(arg(z)+2k\pi)[/tex]

allora ottengo: [tex]w=log(|z^4|) + i*(arg(z^4)+2k\pi- 4( log(|z|) + i*(arg(|z|)+2k\pi))[/tex])

Si ha che [tex]log(|z^4|)[/tex] va inteso come logarirmo reale, quindi [tex]log(|z^4|) = 4 log(z)[/tex] e si elide col terzo termine. Rimane dunque [tex]i(arg(z^4)+2k\pi)-(4arg(|z|)+2k\pi)[/tex]. Inoltre si ha che [tex]|z|=\ro[/tex] e quindi il suo argomento è un multiplo pari di [tex]\pi[/tex].
Ho ottenuto quindi: [tex]i((arg(z^4)+2k\pi)-(8k\pi))[/tex].

Una volta arrivata a questo punto mi blocco, ho ottenuto un numero immaginario puro il cui valore dipende dall'argomento di [tex]z^4[/tex]. Il risultato non mi convince troppo e non riesco a tirare le conclusioni del discorso; come faccio ad andare avanti?

[dissonance]

Suggerimento al volo: invece di usare $"arg"$ in quel modo, definisci una nuova funzione (multivoca) $"Arg"(z)$ (*). In sostanza $"Arg"(z)="arg"(z)+2kpi,\ pi \in ZZ$, mentre per una definizione formale $"Arg"(z)="Im"("Log"(z))$. Questo rende più chiaro il tuo esercizio perché
$log(z^4)-4log|z|= i "Arg"(z^4)=4i"Arg"(z)$ (quest'ultimo passaggio lo puoi fare senza problemi con l'argomento multivoco).

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(*) Uso la convenzione secondo cui la lettera maiuscola indica una funzione multivoca. Non è universale.