Logaritmo complesso

[Sirio1988]

Salve a tutti,
volevo chiedervi se potreste chiarirmi un concetto che mi è stato spiegato dal mio prof.

Sia $z=|z| e^(i arg z )$ con $z!=0$
$z=e^(logz) =e^(Re logz+i Im logz )=e^(Re logz ) e^(i Im logz )$
${(e^(Re logz )=|z|),(e^(i Im logz )=e^(i argz ) ):} rArr {(Re logz=ln|z|), (Im logz=argz ):}$
Si ha quindi che
$z=Re logz+i Im logz=ln|z|+i argz$
La funzione logaritmo complesso è una funzione polidroma.

A questo punto il prof. ha effettuato un passaggio che non ho capito.

Sia $alpha in RR$
$z=ln|z|+i argz$ con $alpha
Cosa vuol dire?

[Drake_89]

Porello, nessuno ti ha risposto Provo a spiegartelo io in modo diverso.

Sai che un numero complesso z può essere messo in forma esponenziale, ossia $ z = \delta e^{j\theta} $

Quindi se devi svolgere il $ log(z) $, effettivamente farai $ log(\delta e^{j\theta}) $

Sfruttando le proprietà del logaritmo puoi riscriverlo come:

$ log(\delta) + log(e^{j\theta}) $ ma l'esponenziale complesso è periodico di periodo $ 2 \pi i $ quindi
$ log(\delta) + log(e^{j\theta}) $ = $ log(\delta) + log(e^{j\theta + 2 \pi k i}) $ = $ log(\delta) + j \theta + 2 \pi k j $

Capisci quindi che il logaritmo assume valori infiniti al variare di k. Per k = 0 hai una sua determinazione, per k = 1 ne hai un'altra e così via. (k >= 0)

Spiegazione alternativa

$ logz $ si definisce nel seguente modo:

$ w = logz $ se e solo se $ z = e^w $, ossia si cerca di invertire la funzione esponenziale complessa. Sai però
che $ e^w $ è periodica (come ho detto nella spiegazione precedente) quindi ci sono infiniti valori di $ w = u + iv $,
cioè ci sono infinite determinazioni del logaritmo ($ logz $ è una funzione polidroma).

Cerchiamo ora la parte reale $u$ e la parte immaginaria $v$ di $w = logz$.
Si ha che $ \|z\| (cos(arg(z)) + isen(arg(z))) = e^{u}(cosv + isenv) $ da cui segue che $ v = arg(z) + 2k\pi $, con k
intero, e $ u = log\|z\| $ (questo è il logaritmo dei numeri reali!).
Quindi:
$ logz = log\|z\| + iarg(z) $. Da questa si vede chiaramente che $logz$ è una funzione a più valori definita a meno
di multipli di $2\pi i$ poiché l'argomento è definito a meno di multipli di $2\pi$.
La determinazione principale $Logz$ del logaritmo, si ha usando la determinazione principale $Arg(z)$ dell'argomento
$arg(z)$ --> $Log(z) = log\|z\| + iArg(z)$

Spero sia un chiaro.. un po

[Sirio1988]

Diciamo che fino a qui c'ero arrivato anch'io Ciò che non capisco è da dove viene fuori quell'$alpha$.

[Zero87]

"Sirio1988":Diciamo che fino a qui c'ero arrivato anch'io Ciò che non capisco è da dove viene fuori quell'$alpha$.

$\alpha$ è fissato.

In altre parole un ramo regolare del logaritmo è definito fissando un argomento che varia in un'intervallo di $2\pi$. Quella scrittura rappresenta quanto ho appena detto.

[Sirio1988]

Capito. Grazie.