Logaritmo base negativa
Perchè nell'ambito dei numeri reali i logaritmi con base negativa non sono trattati??
Risposte
Pensa alla funzione esponenziale:
$f:RR->RR,x->a^x$
Questa è definita per $a>0$.
Come sai il logaritmo è la funzione inversa dell'esponenziale.
$f$ per $ain(0,1)$ e per $ain(1,+oo)$ è iniettiva ma non è suriettiva! Bhè poco male:
$g:RR->RR_+^**,x->a^x|ain(0,1) uu ain(1,+oo) $ è sia iniettiva che suriettiva.
Il problema ora è che se $a=1=>f text{ costante}$, quindi non invertibile (perciò lasciamo la nostra $g$ così com'è)!
Ora possiamo definire l'inversa di $g$:
$g^(-1):RR_+^**->RR,x->log_a(x)|ain(0,1) uu ain(1,+oo) $
$f:RR->RR,x->a^x$
Questa è definita per $a>0$.
Come sai il logaritmo è la funzione inversa dell'esponenziale.
$f$ per $ain(0,1)$ e per $ain(1,+oo)$ è iniettiva ma non è suriettiva! Bhè poco male:
$g:RR->RR_+^**,x->a^x|ain(0,1) uu ain(1,+oo) $ è sia iniettiva che suriettiva.
Il problema ora è che se $a=1=>f text{ costante}$, quindi non invertibile (perciò lasciamo la nostra $g$ così com'è)!
Ora possiamo definire l'inversa di $g$:
$g^(-1):RR_+^**->RR,x->log_a(x)|ain(0,1) uu ain(1,+oo) $
Un esempio pratico:
Il logaritmo in una certa base è la funzione inversa della funzione esponenziale nella stessa base (come ha spiegato in modo molto chiaro lordb).
Detto questo, cosa sarebbe, ad esempio $\log_{-2}3$ ?
Sarebbe la soluzione dell'equazione (-2)^x=3. Il problema sorge quando cerchi di dare un significato a $(-2)^x$: se $x$ non è intero sei costretto ad uscire dall'ambito dei numeri reali.
Il logaritmo in una certa base è la funzione inversa della funzione esponenziale nella stessa base (come ha spiegato in modo molto chiaro lordb).
Detto questo, cosa sarebbe, ad esempio $\log_{-2}3$ ?
Sarebbe la soluzione dell'equazione (-2)^x=3. Il problema sorge quando cerchi di dare un significato a $(-2)^x$: se $x$ non è intero sei costretto ad uscire dall'ambito dei numeri reali.
@alfius : che significa se x non è intero?? il logaritmo è definito per numeri reali non solo interi !!
Dicevo che $(-2)^x$ non ha senso per $x\in\mathbb{R}\\\mathbb{Z}$.
E dato che $\log_{-2}3$, se esistesse, dovrebbe essere la soluzione dell'equazione $(-2)^x=3$ deduco che $\log_{-2}3$ non ha senso nell'ambito dei numeri reali.
E dato che $\log_{-2}3$, se esistesse, dovrebbe essere la soluzione dell'equazione $(-2)^x=3$ deduco che $\log_{-2}3$ non ha senso nell'ambito dei numeri reali.
no mi dispiace ma continuo proprio a non comprendere cosa centrino i numeri relativi nel tuo ragionamento !!
Il motivo per cui dico che sorgono problemi se $x$ non è intero è che, in effetti, $(-2)^x$ è perfettamente sensato se $x$ è intero. Quindi con $x$ intero non ci sarebbero problemi, ci sono invece quando $x$ non lo è.
perchè cosa c'è di sbagliato in $-2^1.6$ per esempio??
Attento alle parentesi: $(-2)^{1.6}$
Prova a calcolarlo, magari con la calcolatrice. Ti accorgerai che c'è qualcosa che non va.
Prova a calcolarlo, magari con la calcolatrice. Ti accorgerai che c'è qualcosa che non va.
Le potenze ad esponente razionale e reale (nel campo reale) vengono definite solo se la base è positiva. Se così nn si facesse sorgerebbero alcune antinomie. Ad esempio consideriamo $ (-2)^(3) $ come potenza a esponente razionale. $ -8=(-2)^(3)=[(-2)^(3)]^(1)={[(-2)^(3)]^(2)}^(1/2)={64}^(1/2)=8 $ Non potendo essere usati come base per le potenze i numeri negativi non sono utlizzabili nemmeno come basi dei logaritmi.
definizione di logaritmo $\log_a b= x \Leftrightarrow a^x=b$,
in parole povere qual è la potenza che devo dare a $x$ per ottenere $b$?
più chiaro di così
in parole povere qual è la potenza che devo dare a $x$ per ottenere $b$?
più chiaro di così
"pasqualinux":
perchè cosa c'è di sbagliato in $-2^1.6$ per esempio??
gli esponenti frazionari sono radici. Le radici di numeri negativi non esistono in $ RR $
$(-2)^(1.6) $ mi genera un numero complesso !! perchè??
grazie a tutti , ma in particolare a Ryukushi che è arrivato al sodo.. e ha dato la risposta per me più soddisfacente
Salve scrivo in questo post perchè l'argomento è essenzialmente lo stesso se ci sono problemi chiedo ai moderatori di comunicarlo. La domanda che vi pongo è perchè il logaritmo non è definito per numeri negativi? come mai quando provo a calcolarlo ottengo un numero complesso? grazie a tutti in anticipo.
ps sarei anche grato se qualcuno ritrattase lo stesso argomento del post, perchè ancora non mi è molto chiaro.
ps sarei anche grato se qualcuno ritrattase lo stesso argomento del post, perchè ancora non mi è molto chiaro.
I piu' che legittimi dubbi di pasqualinux possono [forse] essere chiariti con un semplice ragionamento: per la definizione di logaritmo...
$x= \log_{a} b \implies a^{x} = b \implies e^{x\ \ln a}= e^{\ln b} \implies \log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$ (1)
Se dunque esistono i logaritmi naturali di a e b, la (1) potrebbe fornire il valore del logaritmo in base a di b. E' chiaro tuttavia che per a o b negativo qualche problema potrebbe anche esistere a causa del fatto che in tal caso il logaritmo non e' 'funzione ad un sol valore'...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$x= \log_{a} b \implies a^{x} = b \implies e^{x\ \ln a}= e^{\ln b} \implies \log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$ (1)
Se dunque esistono i logaritmi naturali di a e b, la (1) potrebbe fornire il valore del logaritmo in base a di b. E' chiaro tuttavia che per a o b negativo qualche problema potrebbe anche esistere a causa del fatto che in tal caso il logaritmo non e' 'funzione ad un sol valore'...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
@chisigma mi dispiace ma non seguo il tuo ragionamento!! che significa ad un sol valore??
Giungo in questo post e vi trovo un mare di confusione... Voglio giocare anch'io 
Innanzitutto vorrei commentare che molte delle risposte che ho letto sono del tipo "non puoi dare la definizione perché altrimenti non varrebbe il teorema...". Queste risposte sono in qualche modo contraddittorie in modo intrinseco, perché le definizioni vengono prima dei teoremi, non dopo.
Passando alle domande di pasqualinux,
1) Perché non posso avere logaritmi a base negativa?
Se prendiamo la definizione di logaritmo in base \(a\) come la funzione inversa di \(a^x\), allora è chiaro che \(a\) non può essere negativo. Prendiamo ad esempio \(a = -2\): proviamo a calcolare \(a^2\), e non troviamo problemi; proviamo \(a^{1.2} = a^\frac 6 5 = \sqrt[5]{(-2)^6}\), ed anche qui non ci sono problemi; ma cosa sarebbe \(a^\pi\)? Prima ancora di chiederci il suo valore, \((-2)^\pi\) è pari oppure è dispari?
A questa domanda non si può rispondere, perché cade la nozione intuitiva di "quante volte sto moltiplicando un numero negativo per se stesso?", quindi non è possibile calcolare \(a^b\) se \(a < 0\) e \(b\) è irrazionale. Se allora volessimo proprio salvare il salvabile, ci ritroveremmo con una funzione il cui dominio nella parte dei negativi è "bucherellato" in corrispondenza degli irrazionali [che, tra l'altro, hanno misura di Lebesgue unitaria, e quindi sono tutti i numeri].
Vedi quindi che per questioni, se così vuoi metterla, di comodità, non ci prendiamo la briga di definire gli esponenziali a base negativa, e quindi nemmeno i logaritmi.
Se invece vuoi vedere il logaritmo con la definizione banale, \(\log_{-2} x = a \ \Leftrightarrow \ (-2)^a = x\), e qui ricadi nel problema di prima non appena \(a\) non è un numero abbastanza bello.
2) Perché non ci sono i logaritmi di numeri negativi?
\(\ln -5 = a \Leftrightarrow e^a = -5\), ma come ben sai \(e^x >0 \ \forall x\), e quindi la relazione di prima non ha soluzione.......... Nel campo dei numeri reali!
Nel campo dei complessi, il tutto cambia [ad esempio, l'esponenziale diventa una funzione periodica] e quindi puoi fare passaggi di questo tipo [uso \(\log\) per il logaritmo complesso e \(\ln\) per il logaritmo reale]
\[
\log z = \log (\rho e^{i \theta}) = \ln \rho + \log e^{i \theta} = r + i(\theta + 2 k \pi).
\]
La periodicità è data dal fatto che
\[
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta = \cos (\theta + 2k \pi) + i \sin (\theta + 2 k \pi) = e^{i(\theta + 2k \pi)}.
\]
Spero ti sia più chiara la situazione, se hai ancora problemi chiedi pure.
Innanzitutto vorrei commentare che molte delle risposte che ho letto sono del tipo "non puoi dare la definizione perché altrimenti non varrebbe il teorema...". Queste risposte sono in qualche modo contraddittorie in modo intrinseco, perché le definizioni vengono prima dei teoremi, non dopo.
Passando alle domande di pasqualinux,
1) Perché non posso avere logaritmi a base negativa?
Se prendiamo la definizione di logaritmo in base \(a\) come la funzione inversa di \(a^x\), allora è chiaro che \(a\) non può essere negativo. Prendiamo ad esempio \(a = -2\): proviamo a calcolare \(a^2\), e non troviamo problemi; proviamo \(a^{1.2} = a^\frac 6 5 = \sqrt[5]{(-2)^6}\), ed anche qui non ci sono problemi; ma cosa sarebbe \(a^\pi\)? Prima ancora di chiederci il suo valore, \((-2)^\pi\) è pari oppure è dispari?
A questa domanda non si può rispondere, perché cade la nozione intuitiva di "quante volte sto moltiplicando un numero negativo per se stesso?", quindi non è possibile calcolare \(a^b\) se \(a < 0\) e \(b\) è irrazionale. Se allora volessimo proprio salvare il salvabile, ci ritroveremmo con una funzione il cui dominio nella parte dei negativi è "bucherellato" in corrispondenza degli irrazionali [che, tra l'altro, hanno misura di Lebesgue unitaria, e quindi sono tutti i numeri].
Vedi quindi che per questioni, se così vuoi metterla, di comodità, non ci prendiamo la briga di definire gli esponenziali a base negativa, e quindi nemmeno i logaritmi.
Se invece vuoi vedere il logaritmo con la definizione banale, \(\log_{-2} x = a \ \Leftrightarrow \ (-2)^a = x\), e qui ricadi nel problema di prima non appena \(a\) non è un numero abbastanza bello.
2) Perché non ci sono i logaritmi di numeri negativi?
\(\ln -5 = a \Leftrightarrow e^a = -5\), ma come ben sai \(e^x >0 \ \forall x\), e quindi la relazione di prima non ha soluzione.......... Nel campo dei numeri reali!
Nel campo dei complessi, il tutto cambia [ad esempio, l'esponenziale diventa una funzione periodica] e quindi puoi fare passaggi di questo tipo [uso \(\log\) per il logaritmo complesso e \(\ln\) per il logaritmo reale]
\[
\log z = \log (\rho e^{i \theta}) = \ln \rho + \log e^{i \theta} = r + i(\theta + 2 k \pi).
\]
La periodicità è data dal fatto che
\[
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta = \cos (\theta + 2k \pi) + i \sin (\theta + 2 k \pi) = e^{i(\theta + 2k \pi)}.
\]
Spero ti sia più chiara la situazione, se hai ancora problemi chiedi pure.
ciao @raptorista ti ringrazio per la tua disponibilità, ti volevo chiedere solo una cosa, se restringiamo quindi gli esponenti ai numeri relativi, possiamo definire il logaritmo a base negativa esatto? ad es $ \log_-2 4 =2 $
Non mi è chiaro come il logaritmo complesso possa essere definito per argomenti negativi. ti ringrazio.
Non mi è chiaro come il logaritmo complesso possa essere definito per argomenti negativi. ti ringrazio.
Volendo, si potrebbe, ma avresti una funzione che non è più iniettiva, e quindi non è più l'inversa dell'esponenziale. Davvero, hai più danni che guadagni, meglio lasciar perdere e concentrarsi su altro
Il logaritmo complesso funziona perché i numeri complessi non sono "positivi o negativi"
Un numero complesso è una cosa del tipo \(z = \rho e^{i \theta}\), fine della storia.
Il logaritmo complesso funziona perché i numeri complessi non sono "positivi o negativi"
Un numero complesso è una cosa del tipo \(z = \rho e^{i \theta}\), fine della storia.
grazie mille !
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