Logaritmo base negativa

[Linux1987]

Perchè nell'ambito dei numeri reali i logaritmi con base negativa non sono trattati??

[chisigma]

"Raptorista":Giungo in questo post e vi trovo un mare di confusione... Voglio giocare anch'io

... e perche' non giocare in due? ...

Se supponiamo che la relazione $\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}$ sia valida per ogni a e b reali [o anche complessi} ad eccezione di a=0. a=1 e b=0 e sia valida anche la formula di De Moivre, allora e' evidente che $\forall a<0, \forall b \ne 0$ possiamo definire il $\log_{a} b$. A titolo di esempio scegliamo il 'meno candidabile' di tutti i possibili valori di a, vale a dire a=-1. Se scriviamo $-1 = e^{i\ \pi}$ allora abbiamo...

$\log_{-1} b = \frac{\ln b}{\pi\ i}$ (1)

... e la riprova che la (1) e' vera consiste nella identita'...

$(-1)^{\log_{-1} b} = e^{\frac{\pi\ i}{\pi\ i} \ln b} = b$ (2)

La domanda ovvia e' : ma tutto cio' e' di qualche utilita'?... beh. quello che posso dire e' che qualche volta sono ricorso ad 'acrobazie matematiche' di questo tipo con risultati assai ripaganti poiche' mi hanno consentito realizzazioni altrimenti 'impossibili'. Naturalmente questi sono 'assi nella manica' che fanno parte del 'bagaglio privato' di alcuni professionisti e [giustamente] non rientrano nei 'programmi di insegnamento per aspiranti matematici'...

cordiali saluti

$\chi$ $\sigma$

[Morris0095]

Comunque, se vuoi provare a rappresentare ad esempio la funzione y=log[size=75]-1[/size] (x), puoi immaginarla come una sorta di spirale in uno spazio tridimensionale che ha per assi x,y e z. Praticamente esprimi la y della funzione indicandone le coordinate polari sotto forma di numero complesso (y+iz).
Se vuoi rappresentarla con le proiezioni ortogonali, supponendo l'asse x orizzontale e rivolto verso l'alto, l'asse y verticale e rivolto verso destra, e l'asse z rivolto verso l'osservatore, ottieni che la proiezione della funzione è una cosinusoide di periodo 2 nel piano xy, una sinusoide di periodo 2 nel piano xz e una circonferenza goniometrica nel piano yz.
Se invece volessimo esprimere una funzione del tipo y=log[size=50]a[/size] (x), con a<0, l'ampiezza della cosinusoide e della sinusoide in ogni suo punto sarebbe di log[size=75]-a[/size] (x), e la spirale che si verrebbe a formare al posto della circonferenza goniometrica avrebbe un raggio che varia secondo la stessa funzione.
Lo so, è un po' contorta come spiegazione, oltre a prendere molto dal disegno tecnico, però non vedo come si possa fare di meglio.