Logaritmi ed esponenziali con base negativa
Ciao a tutti. Oggi volevo parlare dei logaritmi e.esponenziali con base negativa. So che non vengono trattati perche si va incontro a grandi problem ma, come si e fatto con I numeri complessi, non si potrebbe fare qualcosa per.superare.questa limitazione, parlo soprattuto per gli esponenziali.
Risposte
[xdom="Raptorista"]Sposto in una sezione più appropriata! 
[/xdom]
[/xdom]
Ciao 
spero che prima di te, dia un'occhiata un moderatore in modo da verificarne la correttezza.
penso che già ci abbiano provato, e se fosse possibile, ne avrebbero trovato una soluzione.
il logaritmo risulta essere la funzione inversa dell'esponenziale, quindi concentriamoci solo sull'esponenziale
chiaramente nella norma la funzione, avendo basi strettamente positive, prodotto di numeri positivi, è positivo.
Quindi l'immagine $f(RR)=RR_(0)^+$ è praticamente ovvia.
Ma ovviamente tu introduci un problema un po' più di ampio ragionamento, ovvero: e se considerassimo basi negative?
bene proviamo a dare una risposta.
freghiamocene un attimo delle condizioni e fingiamo che $f(x)=(-3)^x$ sia una funzione sana.
Calcoliamo qualche immagine.
$f(1)=(-3)^1 => f(1)=-3$
$f(3)=(-3)^3 => f(3)=-27$
$f(2)=(-3)^2 => f(2)=9$
bene non sono insorti grandi problemi perché una potenza dispari, con esponente intero di un numero negativo, è negativa.
Tecnicamente una funzione deve soddisfare questa definizione:
data $f:X->Y$ deve essere $forallx inXexists!yinY: y=f(x)$
in parole:
per ogni $x$ appartenente a $X$ esiste ed è unico l'elemento $y$ appartenente a $Y$ tale che sia $y=f(x)$
Quindi tutti i numeri dell'insieme $X$ devono avere una immagine.
$f(1/2)=(-3)^(1/2) => f(1/2)=sqrt(-3)$ è definita? No.
Dobbiamo togliere dal dominio tutte le $x$ tali che richiedano una base positiva ed è solo questo il problema per cui la funzione esponenziale non ammette basi negative Potremmo allora escludere dal dominio tutti questi numeri e definirla così:
$f:RR->Y$ con $Y=RR_(0) -{x inRR: x=1/z, zneP}$
$P$ indica l'insieme dei numeri pari e si intende che se $x=1/z$ ovvero implica una radice, quella radice non sia di indice pari.
Questa funzione sarebbe definita, ma sarebbe un'oscenità. Pertanto si rimanda il concetto ai numeri Complessi.
Sarebbe un continuo susseguirsi di definito/indefinito. Quindi se non la si può rendere 'presentabile' sui reali, e sui Complessi invece si avrebbe qualcosa di più carina, perché non definirla meglio direttamente lì?
Poco fa ti ho detto consideriamo solo l'esponenziale perché è chiaro che se:
$(-3)^2=9 <=> log_(-3)9=2$ (non uccidetemi è solo un esempio innocente per fissare il concetto)
Ma non essendo definito l'esponenziale, non definiamo la sua inversa, quindi è aria fritta.
Analizziamo la cosa sui complessi...
$f:RR->CC_(0)$ lo zero ovviamente lo togliamo perché comunque vuoi metterla, a meno che la base non sia $0$, quel valore lo si ottiene come caso limite.
prendiamo $a<0$ e lavoriamo su $f:x|->a^x$
$f(x)=a^x => f(x)=(-1(-a))^x$
$-1=e^(ipi)$ quindi $f(x)=(-a*e^(ipi))^x$ e poniamo $-a=z$ dove essendo $-a>0 => z>0$
$f(x)=z^x(cospi+isinpi)^x => f(x)=z^x(cos(pix)+isin(pix))$ per le leggi di De Moivre
in particolare, sui reali, considerando solo la parte reale:
$Re(x)=z^x*cos(pix)$
è la funzione esponenziale definita sui reali con base(ovvero $a<0$) negativa.
Spero di non aver sbagliato nulla, ed aver chiarito un po' di cose.
EDIT: aggiungo una cosa
naturalmente $f(1/2)=(-3)^(1/2) => sqrt(-3) => isqrt3$
$f(x)=z^x*cos(pix)+z^x*isin(pix)$ considerando $z=3$
$f(1/2)=sqrt3*cos(pi/2)+sqrt3*isin(pi/2) => sqrt3*0+sqrt3*i*1 => isqrt3$
I complessi vanno a colmare tutti quei numeri che non appartengono all'insieme di prima, ovvero:
$Y=RR_(0) -{x inRR: x=1/z, zneP}$
spero che prima di te, dia un'occhiata un moderatore in modo da verificarne la correttezza.penso che già ci abbiano provato, e se fosse possibile, ne avrebbero trovato una soluzione.
il logaritmo risulta essere la funzione inversa dell'esponenziale, quindi concentriamoci solo sull'esponenziale
$f:RR->Y, f: x|->a^(x)$
chiaramente nella norma la funzione, avendo basi strettamente positive, prodotto di numeri positivi, è positivo.
Quindi l'immagine $f(RR)=RR_(0)^+$ è praticamente ovvia.
Ma ovviamente tu introduci un problema un po' più di ampio ragionamento, ovvero: e se considerassimo basi negative?
bene proviamo a dare una risposta.
freghiamocene un attimo delle condizioni e fingiamo che $f(x)=(-3)^x$ sia una funzione sana.
Calcoliamo qualche immagine.
$f(1)=(-3)^1 => f(1)=-3$
$f(3)=(-3)^3 => f(3)=-27$
$f(2)=(-3)^2 => f(2)=9$
bene non sono insorti grandi problemi perché una potenza dispari, con esponente intero di un numero negativo, è negativa.
Tecnicamente una funzione deve soddisfare questa definizione:
data $f:X->Y$ deve essere $forallx inXexists!yinY: y=f(x)$
in parole:
per ogni $x$ appartenente a $X$ esiste ed è unico l'elemento $y$ appartenente a $Y$ tale che sia $y=f(x)$
Quindi tutti i numeri dell'insieme $X$ devono avere una immagine.
$f(1/2)=(-3)^(1/2) => f(1/2)=sqrt(-3)$ è definita? No.
Dobbiamo togliere dal dominio tutte le $x$ tali che richiedano una base positiva ed è solo questo il problema per cui la funzione esponenziale non ammette basi negative Potremmo allora escludere dal dominio tutti questi numeri e definirla così:
$f:RR->Y$ con $Y=RR_(0) -{x inRR: x=1/z, zneP}$
$P$ indica l'insieme dei numeri pari e si intende che se $x=1/z$ ovvero implica una radice, quella radice non sia di indice pari.
Questa funzione sarebbe definita, ma sarebbe un'oscenità. Pertanto si rimanda il concetto ai numeri Complessi.
Sarebbe un continuo susseguirsi di definito/indefinito. Quindi se non la si può rendere 'presentabile' sui reali, e sui Complessi invece si avrebbe qualcosa di più carina, perché non definirla meglio direttamente lì?
Poco fa ti ho detto consideriamo solo l'esponenziale perché è chiaro che se:
$(-3)^2=9 <=> log_(-3)9=2$ (non uccidetemi è solo un esempio innocente per fissare il concetto
) Ma non essendo definito l'esponenziale, non definiamo la sua inversa, quindi è aria fritta.
Analizziamo la cosa sui complessi...
$f:RR->CC_(0)$ lo zero ovviamente lo togliamo perché comunque vuoi metterla, a meno che la base non sia $0$, quel valore lo si ottiene come caso limite.
prendiamo $a<0$ e lavoriamo su $f:x|->a^x$
$f(x)=a^x => f(x)=(-1(-a))^x$
$-1=e^(ipi)$ quindi $f(x)=(-a*e^(ipi))^x$ e poniamo $-a=z$ dove essendo $-a>0 => z>0$
$f(x)=z^x(cospi+isinpi)^x => f(x)=z^x(cos(pix)+isin(pix))$ per le leggi di De Moivre
in particolare, sui reali, considerando solo la parte reale:
$Re(x)=z^x*cos(pix)$
è la funzione esponenziale definita sui reali con base(ovvero $a<0$) negativa.
Spero di non aver sbagliato nulla, ed aver chiarito un po' di cose.
EDIT: aggiungo una cosa
naturalmente $f(1/2)=(-3)^(1/2) => sqrt(-3) => isqrt3$
$f(x)=z^x*cos(pix)+z^x*isin(pix)$ considerando $z=3$
$f(1/2)=sqrt3*cos(pi/2)+sqrt3*isin(pi/2) => sqrt3*0+sqrt3*i*1 => isqrt3$
I complessi vanno a colmare tutti quei numeri che non appartengono all'insieme di prima, ovvero:
$Y=RR_(0) -{x inRR: x=1/z, zneP}$
Il discorso è molto ben curato, però mi sfugge una cosa.
A dire il vero, credo che l'eventuale radice di un numero negativo non sia l'unico inconveniente da cui bisogna premunirsi trattando con la funzione esponenziale. In effetti, data la funzione $ a^x $ , è vero che nel campo dei numeri reali si pone la base $a$ maggiore di zero per evitare forme inaccettabili come $ (-3)^(1/2)=sqrt(-3) $ che dà origine ad un radicando negativo, quando $x$ assume valori razionali tali da produrre un indice pari di radice. Tuttavia, anche nel caso in cui $x$ sia un numero irrazionale è necessario che la base dell'esponenziale sia positiva perché non ne derivi un'espressione senza significato: ad esempio, le forme $(-3)^(pi) , (-3)^sqrt2$ non sono definite. Detto ciò, non so come i numeri complessi possano risolvere anche questo aspetto della base negativa o se magari non ce ne sia bisogno ed io mi stia sbagliando.
A dire il vero, credo che l'eventuale radice di un numero negativo non sia l'unico inconveniente da cui bisogna premunirsi trattando con la funzione esponenziale. In effetti, data la funzione $ a^x $ , è vero che nel campo dei numeri reali si pone la base $a$ maggiore di zero per evitare forme inaccettabili come $ (-3)^(1/2)=sqrt(-3) $ che dà origine ad un radicando negativo, quando $x$ assume valori razionali tali da produrre un indice pari di radice. Tuttavia, anche nel caso in cui $x$ sia un numero irrazionale è necessario che la base dell'esponenziale sia positiva perché non ne derivi un'espressione senza significato: ad esempio, le forme $(-3)^(pi) , (-3)^sqrt2$ non sono definite. Detto ciò, non so come i numeri complessi possano risolvere anche questo aspetto della base negativa o se magari non ce ne sia bisogno ed io mi stia sbagliando.
"Cakeman":
Il discorso è molto ben curato
Grazie mille
"Cakeman":
però mi sfugge una cosa....
...le forme $(-3)^(pi) , (-3)^sqrt2$ non sono definite. Detto ciò, non so come i numeri complessi possano risolvere anche questo aspetto della base negativa o se magari non ce ne sia bisogno ed io mi stia sbagliando.
Hai ragione e quì posso solo 'supporre', aspettando qualcuno con più conoscenze delle mie.
Quello che penso è che l'impossibilità di definire $(-3)^pi$(ad esempio), è data dal fatto che non si conosca l'effettivo sviluppo.
Cioè non si sa se questo numero sia tale da richiedere un numero positivo come base.
Per dirti.. $(-3)^(1232/97)$ è definito. Ma non voglio sbilanciarmi più di tanto.
Per quanto riguarda il calcolo Complesso, è definito.
$f(pi)=3^pi*cos(pi^2)+3^pi*isin(pi^2)$ che sono tre numeri esistenti(anche se penso siano approssimati ovviamente)
ok quindi da quanto ho capito (scusate tanto le mie lacune ma faccio solo seconda e in classe siamo ancora dietro con le disequazioni di secondo grado 
. però la mia passione per la matematica mi porta avanti ) i numeri complessi accettano esponenziale con base negativa?
. però la mia passione per la matematica mi porta avanti ) i numeri complessi accettano esponenziale con base negativa?
Sì esatto. Ti consiglio di trattarli, anche autonomamente, dopo aver capito come funzionano i reali. Diciamo che in teoria $CC$ è la pace dei sensi.
e accettano anche i logaritmi con base e argomenti nagtivi?
Accettano tutto.
Anche la divisione per zero? 
Io andrei più cauto con i logaritmi complessi ... che in seconda studi autonomamente i complessi mi va bene, ma esponenziali e logaritmi in $CC$ li farei più in là, quantomeno dopo aver una buona padronanza di essi in campo reale ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
Io andrei più cauto con i logaritmi complessi ... che in seconda studi autonomamente i complessi mi va bene, ma esponenziali e logaritmi in $CC$ li farei più in là, quantomeno dopo aver una buona padronanza di essi in campo reale ... IMHO ...
Cordialmente, Alex
Tranne la divisione per zero.
La prossima volta lo specifico
axpgn ha ragione. Prima impara bene gli strumenti.
La prossima volta lo specifico
axpgn ha ragione. Prima impara bene gli strumenti.
si certo vado cauto. questa era solo una curiosità. ora mi sto concentrando sugli integrali 
e per quanto riguarda la divisione per zero non si può creare un ulteriore insieme che accetti pure quella?
come hanno chiamato $i$ un numero tale che $i^2=-1$ si potrebbe creare un numero, che ne so, $t$ tale che $t*0=1$.
Lo so che sto dicendo assurdità
come hanno chiamato $i$ un numero tale che $i^2=-1$ si potrebbe creare un numero, che ne so, $t$ tale che $t*0=1$.
Lo so che sto dicendo assurdità
Hai fatto goniometria, funzioni, derivate? Vacci piano.
Per quanto riguarda la divisione per zero, tu puoi inventarti quello che vuoi, il problema consiste nel trovare qualcosa di coerente e utile ... per esempio se $t*0=1$ allora $t*0*a=1*a\ =>\ t*0=a$ da cui concludi che $t*0$ vale qualsiasi cosa ... poco utile ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"anto_zoolander":
Hai fatto goniometria, funzioni, derivate? Vacci piano.
sisi certo. ora ho tutta l'estate per esercitarmi bene sugli argomenti diciamo della maturità.
"axpgn":
Per quanto riguarda la divisione per zero, tu puoi inventarti quello che vuoi, il problema consiste nel trovare qualcosa di coerente e utile ... per esempio se $t*0=1$ allora $t*0*a=1*a\ =>\ t*0=a$ da cui concludi che $t*0$ vale qualsiasi cosa ... poco utile ...
Cordialmente, Alex
si effettivamente hai ragione....
grazie
"ardesiacesellata":
[quote="anto_zoolander"]Hai fatto goniometria, funzioni, derivate? Vacci piano.
sisi certo. ora ho tutta l'estate per esercitarmi bene sugli argomenti diciamo della maturità.[/quote]
Brava. Io pure. Sono per lo studio intenso.
Comunque sono un maschio. Il nome tradisce
Io ci andrei piano col dire che
Innanzitutto in \( \mathbb{C} \) non è possibile definire un'ordinamento che sia compatibile con le operazioni, come accade invece in \( \mathbb{R} \). La prima conseguenza di questo fatto è che \( \mathbb{C} \) non è un campo ordinato.
Cionondimeno è comunque possibile ordinare \( \mathbb{C} \) in senso lato utilizzando e.g. l'ordinamento lessico-grafico. L'intoppo è che questo ordinamento non è compatibile con le operazioni.
La seconda conseguenza (o, se vogliamo, la conseguenza della prima conseguenza) è che in \( \mathbb{C} \) non ha proprio senso parlare di numeri negativi e numeri positivi.
Già l'ordinamento di \( \mathbb{C} \) riserva quindi sorprese e tante altre ancora ne riserva la struttura algebrica di \( \mathbb{C} \).
Siano \( z, \alpha \in \mathbb{C} \): si può benissimo definire la potenza \( z^{\alpha} \) mediante la posizione \( \displaystyle z^{\alpha} \overset{\text{def}}{=} e^{\alpha \cdot \ln (z)} \); il problema è che \( \ln \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) è una funzione polidroma, i.e. una funzione che associa ad ogni elemento del dominio più di un elemento del codominio, in questo caso addirittura infiniti, sicché la potenza \( z^{\alpha} \) ha più di un valore, in questo caso infiniti, il che rende questa definizione quanto meno complicata da gestire.
Per quanto riguarda la divisione per \( 0 \), il primo problema da affrontare è: cos'è la divisione?
In \( \mathbb{N} \) ed in \( \mathbb{Z} \) la divisione non è un'operazione ma un algoritmo che, dati due numeri \( a \) e \( b \neq 0 \), rispettivamente dividendo e divisore, permette di trovare due numeri, il quoziente \( q \) ed il resto \( r \), tali che \( a = bq + r \) con \( 0 \leq r < \lvert b \rvert \).
Perché non è un'operazione? Perché dato un insieme non vuoto \( S \), un'operazione (binaria) interna su \( S \) è una funzione \( \ast \colon S \times S \to S \). Quindi la divisione in \( \mathbb{N} \) (o in \( \mathbb{Z} \)) per essere un'operazione dovrebbe essere una funzione di \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) in \( \mathbb{N} \) (o di \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) in \( \mathbb{Z} \)) ma in primo luogo le coppie \( (a;0) \) non hanno un corrispondente ed in secondo luogo le coppie che hanno un corrispondente non lo hanno in \( \mathbb{N} \) (o in \( \mathbb{Z} \)) ma in \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) (o in \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)).
Inoltre anche provando un'assegnazione per \( b = 0 \) non si riuscirebbe a soddisfare la condizione \( 0 \leq r < \lvert 0 \rvert \) perché \( \forall q, q \cdot 0 = 0 \) sicché per ottenere \( a \) dovrebbe essere \( r = a \).
Quando si passa poi in \( \mathbb{Q} \) (prima ancora di arrivare in \( \mathbb{R} \)) l'algoritmo della divisione non serve e la divisione diviene solo una notazione per indicare il prodotto tra un numero di \( \mathbb{Q} \) ed il suo inverso moltiplicativo. Al che la questione diventa perché lo \( 0 \) di \( \mathbb{Q} \) non può avere l'inverso moltiplicativo? Perché essendo lo \( 0 \) di \( \mathbb{Q} \) l'elemento neutro della somma di \( \mathbb{Q} \) si prova che \( 0 \cdot a = 0 \) qualunque sia \( a \in \mathbb{Q} \), compreso l'eventuale \( a \) inverso moltiplicativo di \( 0 \) mentre l'inverso moltiplicativo è tale perché fornisce \( 1 \) come risultato del prodotto tra sé ed il numero di cui è l'inverso moltiplicativo.
Infine notazione di carattere generale.
Volendo essere rigorosi (cosa necessaria nel momento in cui si vuole discutere della definizione e dell'estensione delle operazioni) non è nemmeno sempre corretto scrivere cose del tipo \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \). Partendo da \( \mathbb{N} \) (presentato assiomaticamente o costruito con la Teoria degli Insiemi) quelle inclusioni non sono da intendersi letteralmente perché ciò che in realtà accade è che \( \mathbb{N} \) si identifica con una certa parte di \( \mathbb{Z} \) che a sua volta si identifica con una certa parte di \( \mathbb{Q} \) che a sua volta si identifica con una certa parte di \( \mathbb{R} \) che a sua volta si identifica con una certa parte di \( \mathbb{C} \); partendo invece da \( \mathbb{R} \) tramite la sua assiomatizzazione, come accade in Analisi Matematica, si possono ricavare \( \mathbb{N} \), \( \mathbb{Z} \), \( \mathbb{Q} \) come sottoinsiemi di \( \mathbb{R} \), ragione per cui si possono intendere letteralmente le inclusioni fino ad \( \mathbb{R} \), ma da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{C} \) si deve identificare.
Dice: e questo che importanza ha? Importa perché identificare significa una cosa precisa che coinvolge anche le operazioni.
"anto_zoolander":
... \( \mathbb{C} \) è la pace dei sensi.
Innanzitutto in \( \mathbb{C} \) non è possibile definire un'ordinamento che sia compatibile con le operazioni, come accade invece in \( \mathbb{R} \). La prima conseguenza di questo fatto è che \( \mathbb{C} \) non è un campo ordinato.
Cionondimeno è comunque possibile ordinare \( \mathbb{C} \) in senso lato utilizzando e.g. l'ordinamento lessico-grafico. L'intoppo è che questo ordinamento non è compatibile con le operazioni.
La seconda conseguenza (o, se vogliamo, la conseguenza della prima conseguenza) è che in \( \mathbb{C} \) non ha proprio senso parlare di numeri negativi e numeri positivi.
Già l'ordinamento di \( \mathbb{C} \) riserva quindi sorprese e tante altre ancora ne riserva la struttura algebrica di \( \mathbb{C} \).
Siano \( z, \alpha \in \mathbb{C} \): si può benissimo definire la potenza \( z^{\alpha} \) mediante la posizione \( \displaystyle z^{\alpha} \overset{\text{def}}{=} e^{\alpha \cdot \ln (z)} \); il problema è che \( \ln \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C} \) è una funzione polidroma, i.e. una funzione che associa ad ogni elemento del dominio più di un elemento del codominio, in questo caso addirittura infiniti, sicché la potenza \( z^{\alpha} \) ha più di un valore, in questo caso infiniti, il che rende questa definizione quanto meno complicata da gestire.
Per quanto riguarda la divisione per \( 0 \), il primo problema da affrontare è: cos'è la divisione?
In \( \mathbb{N} \) ed in \( \mathbb{Z} \) la divisione non è un'operazione ma un algoritmo che, dati due numeri \( a \) e \( b \neq 0 \), rispettivamente dividendo e divisore, permette di trovare due numeri, il quoziente \( q \) ed il resto \( r \), tali che \( a = bq + r \) con \( 0 \leq r < \lvert b \rvert \).
Perché non è un'operazione? Perché dato un insieme non vuoto \( S \), un'operazione (binaria) interna su \( S \) è una funzione \( \ast \colon S \times S \to S \). Quindi la divisione in \( \mathbb{N} \) (o in \( \mathbb{Z} \)) per essere un'operazione dovrebbe essere una funzione di \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) in \( \mathbb{N} \) (o di \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \) in \( \mathbb{Z} \)) ma in primo luogo le coppie \( (a;0) \) non hanno un corrispondente ed in secondo luogo le coppie che hanno un corrispondente non lo hanno in \( \mathbb{N} \) (o in \( \mathbb{Z} \)) ma in \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \) (o in \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)).
Inoltre anche provando un'assegnazione per \( b = 0 \) non si riuscirebbe a soddisfare la condizione \( 0 \leq r < \lvert 0 \rvert \) perché \( \forall q, q \cdot 0 = 0 \) sicché per ottenere \( a \) dovrebbe essere \( r = a \).
Quando si passa poi in \( \mathbb{Q} \) (prima ancora di arrivare in \( \mathbb{R} \)) l'algoritmo della divisione non serve e la divisione diviene solo una notazione per indicare il prodotto tra un numero di \( \mathbb{Q} \) ed il suo inverso moltiplicativo. Al che la questione diventa perché lo \( 0 \) di \( \mathbb{Q} \) non può avere l'inverso moltiplicativo? Perché essendo lo \( 0 \) di \( \mathbb{Q} \) l'elemento neutro della somma di \( \mathbb{Q} \) si prova che \( 0 \cdot a = 0 \) qualunque sia \( a \in \mathbb{Q} \), compreso l'eventuale \( a \) inverso moltiplicativo di \( 0 \) mentre l'inverso moltiplicativo è tale perché fornisce \( 1 \) come risultato del prodotto tra sé ed il numero di cui è l'inverso moltiplicativo.
Infine notazione di carattere generale.
Volendo essere rigorosi (cosa necessaria nel momento in cui si vuole discutere della definizione e dell'estensione delle operazioni) non è nemmeno sempre corretto scrivere cose del tipo \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \). Partendo da \( \mathbb{N} \) (presentato assiomaticamente o costruito con la Teoria degli Insiemi) quelle inclusioni non sono da intendersi letteralmente perché ciò che in realtà accade è che \( \mathbb{N} \) si identifica con una certa parte di \( \mathbb{Z} \) che a sua volta si identifica con una certa parte di \( \mathbb{Q} \) che a sua volta si identifica con una certa parte di \( \mathbb{R} \) che a sua volta si identifica con una certa parte di \( \mathbb{C} \); partendo invece da \( \mathbb{R} \) tramite la sua assiomatizzazione, come accade in Analisi Matematica, si possono ricavare \( \mathbb{N} \), \( \mathbb{Z} \), \( \mathbb{Q} \) come sottoinsiemi di \( \mathbb{R} \), ragione per cui si possono intendere letteralmente le inclusioni fino ad \( \mathbb{R} \), ma da \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{C} \) si deve identificare.
Dice: e questo che importanza ha? Importa perché identificare significa una cosa precisa che coinvolge anche le operazioni.
Che bello imprarare cose nuove
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