Localizzazione degli zeri di una funzione integrale

[gugo82]

Siano \(u:[0,T]\to \mathbb{R}\) una fissata funzione nonnegativa decrescente, abbastanza regolare, con \(u(T)=0\) (se si vuole, si può normalizzare \(u\) in qualche modo, ad esempio imponendo \(u(0)=\sup_{[0,T]} u=1\)) ed \(f:[0,T]\to \mathbb{R}\) una funzione decrescente con \(f(0)>0\).
Posto:
\[
\Phi (t):= \int_0^t f(\tau)\ u(\tau)\ \text{d} \tau
\]
è possibile determinare qualche condizione su \(f\) necessaria affinché la \(\Phi\) non si annulli in \(]0,T[\), cioè affinché si abbia \(\Phi (t)\geq 0\) in \([0,T]\)?

Mi spiego meglio.
Ovviamente \(\Phi\) è una funzione positiva per \(t\approx 0\); inoltre si ha \(\Phi^\prime (t) =f(t)\ u(t)\) e, per la monotonia di \(f\) ed \(u\), la \(\Phi\) è concava per \(t\approx 0\); infine \(\Phi^\prime\) si annulla solo dove si annulla \(f\) o dove si annulla \(u\) e, dato che \(u\) si annulla solo in \(T\) (o al massimo in tutto un intorno di \(T\)), mi sembra che i punti critici corrispondenti agli zeri di \(f\) siano massimi assoluti, mentre il punto \(T\) è di minimo locale (come tutti quelli in un eventuale intorno in cui si annulla \(u\)).

Ora, se \(f \geq 0\) in \(]0,T[\) siamo a posto, perché \(\Phi\) è crescente e non ha altri zeri in \(]0,T]\).

Tuttavia, se \(f\) cambia segno, ad un certo punto la \(\Phi\) comincia a decrescere e, potenzialmente, potrebbe annullarsi in un punto interno a \([0,T]\) e cambiare di segno dopo tale punto.
In questo caso, conoscete qualche tecnica un po' più fine per stimare dove cadono gli zeri di \(\Phi\)?

O anche, dato che per non avere zeri in \(]0,T[\) basta che \(\Phi (T)\geq 0\), riuscite ad immaginare qualche condizione necessaria su \(f\) affinché si abbia \(\Phi (T)\geq 0\)?

[Rigel1]

Non mi è molto chiaro quale sia l'obiettivo.
Comunque, una condizione sufficiente (se $u$ è almeno AC) affinché $\Phi$ sia $\ge 0$ è che la funzione integrale \( F(t) := \int_0^t f(s) ds \) di $f$ sia non negativa ovvero, poiché $f$ è monotona decrescente, che $\int_0^T f \ge 0$ (ma probabilmente non è questa la risposta che ti serve).
Infatti, tenendo conto del fatto che $u(T) = 0$ e $F(0) = 0$, si ha che
\( \Phi(T) = \int_0^T f u = u F|_0^T - \int_0^T u' F = \int_0^T |u'| F .\)