Localizzare punti di flesso senza lo studio della derivata seconda
Salve a tutti durante lo studio della seguente funzione:
$(5logx)/(1+log^2x)+ 3arctan(logx)$
mi è stato chiesto di calcolare i punti di flesso senza studiare la derivata seconda. Sbirciando le soluzioni ho visto che i punti di flesso vengono dedotti dalla derivata prima ma non riesco a capire come. qualcuno saprebbe aiutarmi? Nel caso servisse questa è la derivata prima che ho calcolato:
$(8-2log^2x)/(x(1+log^2x)^2)$
Inoltre sapreste dirmi se i punti di flesso oltre che con lo studio della derivata seconda e della derivata prima sono deducibili in altri modi? grazie a tutti
$(5logx)/(1+log^2x)+ 3arctan(logx)$
mi è stato chiesto di calcolare i punti di flesso senza studiare la derivata seconda. Sbirciando le soluzioni ho visto che i punti di flesso vengono dedotti dalla derivata prima ma non riesco a capire come. qualcuno saprebbe aiutarmi? Nel caso servisse questa è la derivata prima che ho calcolato:
$(8-2log^2x)/(x(1+log^2x)^2)$
Inoltre sapreste dirmi se i punti di flesso oltre che con lo studio della derivata seconda e della derivata prima sono deducibili in altri modi? grazie a tutti
Risposte
A mio parere, li puoi dedurre ulteriormente solo con le derivate successive, ma non credo tu l'abbia fatto; e ovviamente graficamente...
"alby941":
A mio parere, li puoi dedurre ulteriormente solo con le derivate successive, ma non credo tu l'abbia fatto; e ovviamente graficamente...
Ciao innanzitutto grazie per la risposta, mi sono dimenticato di scrivere che con lo studio delle derivate successive sono in grado di determinare e localizzare eventuali punti di flesso all' interno della funzione. Il mio dubbio nasce dal fatto che proprio l' esercizio mi chiedeva: "Senza calcolare la derivata seconda di f, dire se f ammette eventuali punti di flesso e localizzarli".
Non saprei se anche il metodo delle der. succ. non possa essere utilizzato.. prova a chiedere al professore 
"alby941":
Non saprei se anche il metodo delle der. succ. non possa essere utilizzato.. prova a chiedere al professore
ok grazie mille lo stesso proverò a chiedere al professore. Nel frattempo se qualcun' altro avesse altri consigli li accetto volentieri
Beh, una stima si può fare facile.
Si ha:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^+} f(x) &= -\frac{3\pi}{2}\\
\lim_{x\to \infty} f(x) &= \frac{3\pi}{2}\; ;
\end{split}
\]
d'altra parte, la derivata prima è non negativa in \(\operatorname{Dom} f=]0,\infty[\) solo se \(x\in [e^{-2}, e^2]\), sicché \(f\) ha due estremi relativi in \(e^{-2}\) ed \(e^2\), i quali sono rispettivamente un minimo ed un massimo locale in cui essa assume valore:
\[
\begin{split}
f(e^{-2}) &= -2 -3\ \arctan (2) \approx -5.321 < -\frac{3\pi}{2}\\
f(e^2) &= 2 +3\ \arctan (2) \approx 5.321 > \frac{3\pi}{2}\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente, c'è almeno un punto di flesso in \(]e^{-2}, e^2[\) e c'è almeno un punto di flesso in \(]e^2,\infty[\).
Si ha:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^+} f(x) &= -\frac{3\pi}{2}\\
\lim_{x\to \infty} f(x) &= \frac{3\pi}{2}\; ;
\end{split}
\]
d'altra parte, la derivata prima è non negativa in \(\operatorname{Dom} f=]0,\infty[\) solo se \(x\in [e^{-2}, e^2]\), sicché \(f\) ha due estremi relativi in \(e^{-2}\) ed \(e^2\), i quali sono rispettivamente un minimo ed un massimo locale in cui essa assume valore:
\[
\begin{split}
f(e^{-2}) &= -2 -3\ \arctan (2) \approx -5.321 < -\frac{3\pi}{2}\\
f(e^2) &= 2 +3\ \arctan (2) \approx 5.321 > \frac{3\pi}{2}\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente, c'è almeno un punto di flesso in \(]e^{-2}, e^2[\) e c'è almeno un punto di flesso in \(]e^2,\infty[\).
"gugo82":
Beh, una stima si può fare facile.
Si ha:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^+} f(x) &= -\frac{3\pi}{2}\\
\lim_{x\to \infty} f(x) &= \frac{3\pi}{2}\; ;
\end{split}
\]
d'altra parte, la derivata prima è non negativa in \(\operatorname{Dom} f=]0,\infty[\) solo se \(x\in [e^{-2}, e^2]\), sicché \(f\) ha due estremi relativi in \(e^{-2}\) ed \(e^2\), i quali sono rispettivamente un minimo ed un massimo locale in cui essa assume valore:
\[
\begin{split}
f(e^{-2}) &= -2 -3\ \arctan (2) \approx -5.321 < -\frac{3\pi}{2}\\
f(e^2) &= 2 +3\ \arctan (2) \approx 5.321 > \frac{3\pi}{2}\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente, c'è almeno un punto di flesso in \(]e^{-2}, e^2[\) e c'è almeno un punto di flesso in \(]e^2,\infty[\).
Ei ciao grazie mille della risposta ma non ho ben capito il ragionamento che hai fatto me lo potresti spiegare. Grazie ancora e scusa la mia ottusaggine
Beh, prova a mettere su un grafico le informazioni che hai, poi mi dici.
"gugo82":
Beh, prova a mettere su un grafico le informazioni che hai, poi mi dici.
Ok scusa non ho pensato di verificarlo graficamente. Andando a confrontare graficamente ho capito grazie mille!!
D'altro canto, se non vuoi usare il grafico, puoi ragionare come segue.
Considera la funzione \(f^\prime\) definita in tutto \(\operatorname{Dom} f=]0,\infty[\). Per i conti fatti prima, essa si annulla in \(e^{\pm 2}\), è negativa in \(]0,e^{-2}[\cup ]e^2,\infty[\), è positiva in \(]e^{-2}, e^2[\), ed inoltre ha:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^+} f^\prime (x) &= -\infty
\lim_{x\to \infty} f^\prime (x) &= 0\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente, nel compatto \([e^{-2}, e^2]\) la \(f^\prime\) soddisfa le ipotesi di Rolle e perciò c'è almeno un punto intorno al quale la derivata seconda di \(f\) si annulla; analogo discorso in \([e^2, \infty[\). Tali punti di derivata seconda nulla sono punti di massimo e/o di minimo relativo proprio per la \(f^\prime\),[nota]Nel senso che \(f^\prime\) non può essere costante in un intorno di siffatti punti. Invero, se, per assurdo, fosse \(f^\prime (x) =f(x_0)\) in un intorno completo di un punto \(x_0\) in cui \(f^{\prime \prime} (x_0)=0\), si avrebbe \(8-2\log^2 x = f(x_0)\ x\ (1+\log^2 x)^2\), il che è evidentemente impossibile.[/nota] quindi essi sono punti intorno ai quali la \(f^{\prime \prime}\) cambia di segno.
Considera la funzione \(f^\prime\) definita in tutto \(\operatorname{Dom} f=]0,\infty[\). Per i conti fatti prima, essa si annulla in \(e^{\pm 2}\), è negativa in \(]0,e^{-2}[\cup ]e^2,\infty[\), è positiva in \(]e^{-2}, e^2[\), ed inoltre ha:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^+} f^\prime (x) &= -\infty
\lim_{x\to \infty} f^\prime (x) &= 0\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente, nel compatto \([e^{-2}, e^2]\) la \(f^\prime\) soddisfa le ipotesi di Rolle e perciò c'è almeno un punto intorno al quale la derivata seconda di \(f\) si annulla; analogo discorso in \([e^2, \infty[\). Tali punti di derivata seconda nulla sono punti di massimo e/o di minimo relativo proprio per la \(f^\prime\),[nota]Nel senso che \(f^\prime\) non può essere costante in un intorno di siffatti punti. Invero, se, per assurdo, fosse \(f^\prime (x) =f(x_0)\) in un intorno completo di un punto \(x_0\) in cui \(f^{\prime \prime} (x_0)=0\), si avrebbe \(8-2\log^2 x = f(x_0)\ x\ (1+\log^2 x)^2\), il che è evidentemente impossibile.[/nota] quindi essi sono punti intorno ai quali la \(f^{\prime \prime}\) cambia di segno.
"gugo82":
D'altro canto, se non vuoi usare il grafico, puoi ragionare come segue.
Considera la funzione \(f^\prime\) definita in tutto \(\operatorname{Dom} f=]0,\infty[\). Per i conti fatti prima, essa si annulla in \(e^{\pm 2}\), è negativa in \(]0,e^{-2}[\cup ]e^2,\infty[\), è positiva in \(]e^{-2}, e^2[\), ed inoltre ha:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0^+} f^\prime (x) &= -\infty
\lim_{x\to \infty} f^\prime (x) &= 0\; .
\end{split}
\]
Conseguentemente, nel compatto \([e^{-2}, e^2]\) la \(f^\prime\) soddisfa le ipotesi di Rolle e perciò c'è almeno un punto intorno al quale la derivata seconda di \(f\) si annulla; analogo discorso in \([e^2, \infty[\). Tali punti di derivata seconda nulla sono punti di massimo e/o di minimo relativo proprio per la \(f^\prime\),[nota]Nel senso che \(f^\prime\) non può essere costante in un intorno di siffatti punti. Invero, se, per assurdo, fosse \(f^\prime (x) =f(x_0)\) in un intorno completo di un punto \(x_0\) in cui \(f^{\prime \prime} (x_0)=0\), si avrebbe \(8-2\log^2 x = f(x_0)\ x\ (1+\log^2 x)^2\), il che è evidentemente impossibile.[/nota] quindi essi sono punti intorno ai quali la \(f^{\prime \prime}\) cambia di segno.
Grazie ancora per le risposte. Ho analizzato il metodo che mi proponi ma preferisco il primo grazie mille ancora
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