Lipschitziano
come si fa a dimostrare, che per esempio, la funzione seno è 1-lipschitziana?
Allora per la definizione, ho che $sin: RR -> [-1,1] $ è 1-lipschitziana se e solo se $AA x,y in RR ||sin(x) -sin(y)|| < ||x- y|| $ . considero $RR$ munito della norma $oo$, quindi $"sup"_{x,y in RR} |sin(x) -sin(y)| < "sup"_{x,y in RR} |x-y|$. è come faccio a dimostrare che questo è vero?
Allora per la definizione, ho che $sin: RR -> [-1,1] $ è 1-lipschitziana se e solo se $AA x,y in RR ||sin(x) -sin(y)|| < ||x- y|| $ . considero $RR$ munito della norma $oo$, quindi $"sup"_{x,y in RR} |sin(x) -sin(y)| < "sup"_{x,y in RR} |x-y|$. è come faccio a dimostrare che questo è vero?
Risposte
Prova ad usare una formula di prostaferesi.
In alternativa, puoi osservare che, per funzioni derivabili, la lipschitzianità equivale alla limitatezza della derivata prima (e, in tal caso, il sup del modulo della derivata prima è una costante di Lipschitz valida).
In alternativa (che poi sarebbe completare il ragionamento fatto da Paolo90)...
Dato che la derivata del seno è il coseno, per fissati \(x\leq y\) si ha:
\[
-\int_x^y\ \text{d} t \leq \int_x^y \cos t\ \text{d} t\leq \int_x^y\ \text{d}t \quad \Rightarrow \quad -(y-x)\leq \sin y-\sin x\leq y-x
\]
e dall'ultima catena segue:
\[
|\sin y-\sin x| \leq y-x\; ,
\]
la quale porta direttamente alla tesi.
Dato che la derivata del seno è il coseno, per fissati \(x\leq y\) si ha:
\[
-\int_x^y\ \text{d} t \leq \int_x^y \cos t\ \text{d} t\leq \int_x^y\ \text{d}t \quad \Rightarrow \quad -(y-x)\leq \sin y-\sin x\leq y-x
\]
e dall'ultima catena segue:
\[
|\sin y-\sin x| \leq y-x\; ,
\]
la quale porta direttamente alla tesi.
Perfetto, molte grazie!
quindi anche posso dimostrare analogamente che anche la funzione $arctan$ è 1-lipschitziana?
sappiamo che $(arctan x)' =frac{1}{1+x^2}$ che è una funzione continua e poi $max (frac{1}{1+x^2} )= 1$ quando $x=0$ e \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{1+x^2} = 0\) .
Dunque \( 0 < \frac{1}{1+x^2} \leq 1\), allora \( \int^y_x 0 dt < \int^y_x \frac{1}{1+t^2} dt \leq \int^y_x dt \) $=>$ \[ 0 < |\arctan y -\arctan x |\leq |y-x| \] e quindi posso concludere che è 1-lipschitziana.
quindi anche posso dimostrare analogamente che anche la funzione $arctan$ è 1-lipschitziana?
sappiamo che $(arctan x)' =frac{1}{1+x^2}$ che è una funzione continua e poi $max (frac{1}{1+x^2} )= 1$ quando $x=0$ e \(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{1+x^2} = 0\) .
Dunque \( 0 < \frac{1}{1+x^2} \leq 1\), allora \( \int^y_x 0 dt < \int^y_x \frac{1}{1+t^2} dt \leq \int^y_x dt \) $=>$ \[ 0 < |\arctan y -\arctan x |\leq |y-x| \] e quindi posso concludere che è 1-lipschitziana.
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