Lipschitzianità funzione integrale
Salve a tutti.
Come da titolo, ho studiato il relativo teorema, solo che mi sorge un dubbio. Se al posto dell'estremo di integrazione $x$ compare una funzione diciamo $g(x)$, il teorema è ancora valido (se no postare magari un esempio) ? Lo chiedo perché praticamente tutti gli studi di funzione integrale dei compiti del mio professore, sono funzioni integrali "composte".
Grazie a tutti !
Come da titolo, ho studiato il relativo teorema, solo che mi sorge un dubbio. Se al posto dell'estremo di integrazione $x$ compare una funzione diciamo $g(x)$, il teorema è ancora valido (se no postare magari un esempio) ? Lo chiedo perché praticamente tutti gli studi di funzione integrale dei compiti del mio professore, sono funzioni integrali "composte".
Grazie a tutti !
Risposte
E no, chiaramente no. \(g\) può essere una schifezza qualsiasi, quindi non puoi aspettarti che magicamente saltino fuori proprietà di regolarità. Un esempio proprio cretino:
\[\int_0^{g(x)}\, dy=g(x).\]
\[\int_0^{g(x)}\, dy=g(x).\]
Grazie mille, chiarissimo ! 
Volevo chiedere un'altra cosa. Sempre il mio professore riguardo al teorema sopra (prima di dimostrare quello fondamentale per il calcolo e quello di Torricelli), ha considerato la funzione di Heaviside $u(x)$ e ne ha trovato la funzione integrale basandosi sul grafico della funzione della stessa $u(x)$. In seguito, dopo il teorema di Torricelli, ha fatto la solita considerazione sugli integrali indefiniti, cioè quella dell'insieme di primitive che differiscono tra loro per una costante, affermando che tale insieme per $u(x)$ è vuoto. Perciò devo concludere che ci sono funzioni (come $u(x)$) che hanno funzione integrale (il prof ha trovato quella da $0$ a $x$) ma non primitive ?
P.S: tra l'altro sto notando una cosa. $u(x)$ per avere una funzione integrale, deve essere integrabile, e per la definizione di integrale di Riemann lo è nella restrizione $[0;a]$ con $a = 1$ ad esempio. In questo modo risulta una funzione costante, che sappiamo essere integrabile.
P.P.S: rileggendo gli appunti, $u(x)$ effettivamente non ammette primitive per il teorema di Darboux (o dei v.i. per le derivate). Però non capisco il perché (il prof ha accennato questo fatto). Sinceramente, a parte questo accenno, non ho nessun esempio di applicazione di questo teorema ... e quindi non capisco come applicarlo)
Grazie anticipatamente
P.S: tra l'altro sto notando una cosa. $u(x)$ per avere una funzione integrale, deve essere integrabile, e per la definizione di integrale di Riemann lo è nella restrizione $[0;a]$ con $a = 1$ ad esempio. In questo modo risulta una funzione costante, che sappiamo essere integrabile.
P.P.S: rileggendo gli appunti, $u(x)$ effettivamente non ammette primitive per il teorema di Darboux (o dei v.i. per le derivate). Però non capisco il perché (il prof ha accennato questo fatto). Sinceramente, a parte questo accenno, non ho nessun esempio di applicazione di questo teorema ... e quindi non capisco come applicarlo)
Grazie anticipatamente
"brownbetty":Certamente. La funzione integrale è derivabile nei punti in cui la funzione integranda è continua, ma altrove non ha nessun obbligo di esserlo. Quindi se la funzione integranda non è continua in qualche punto, la funzione integrale può tranquillamente non essere una sua primitiva.
Perciò devo concludere che ci sono funzioni (come $u(x)$) che hanno funzione integrale (il prof ha trovato quella da $0$ a $x$) ma non primitive ?
P.P.S: rileggendo gli appunti, $u(x)$ effettivamente non ammette primitive per il teorema di Darboux (o dei v.i. per le derivate). Però non capisco il perché (il prof ha accennato questo fatto).
Esatto. Il teorema di Darboux di cui parli dice che se una funzione \(g\colon I \to \mathbb{R}\) (\(I\) è un intervallo) è la derivata di un'altra funzione, allora essa ha la proprietà dei valori intermedi (ovvero, se \(a
Ora chiaramente \(u\) non ha la proprietà dei valori intermedi: essa assume il valore \(0\) e il valore \(1\), ma non tutti i valori tra essi compresi. Quindi \(u\) non ha primitive. Ciò non toglie che si possa formare la funzione integrale: solo che questa non è una primitiva. Cose che capitano se si integrano funzioni non continue come \(u\).
Sinceramente, a parte questo accenno, non ho nessun esempio di applicazione di questo teorema ... e quindi non capisco come applicarlo)
Il teorema di Darboux dici? Che io sappia non è un teorema che "si applica". Serve a capire qualcosa in più sulle proprietà delle derivate, non ad aiutarti nei calcoli.
Ciao. Innanzi tutto grazie per la risposta.
Ancora una cosa non mi è chiara. Il professore dice che il teorema è valido anche se la funzione derivata $f'$ non è continua (aggiungo io, d'altra parte non compare questa richiesta tra le ipotesi). Da questo uno può pensare che $f'$ può avere discontinuità di 1°, 2° o 3° specie, ma il teorema rimane ancora valido. Ho visto (e capito) un esempio in cui si calcola la derivata di una funzione, questa derivata esiste in tutto $RR$ in particolare in $x=0$ vale $0$, tuttavia in $0$ la funzione non è continua (solo li) perché presenta un punto singolare (cioè un tipo particolare di 2°specie). In questo caso è palese che il teorema sia valido. Tuttavia per $u(x)$ che ha una discontinuità di 1° specie (il salto) non vale. Allora non sarebbe più corretto dire nel teorema che la funzione derivata ha la proprietà dei v.i., anche se discontinua, ma solo di 2° specie ? E per la 3° specie che si può dire ?
Ancora una cosa non mi è chiara. Il professore dice che il teorema è valido anche se la funzione derivata $f'$ non è continua (aggiungo io, d'altra parte non compare questa richiesta tra le ipotesi). Da questo uno può pensare che $f'$ può avere discontinuità di 1°, 2° o 3° specie, ma il teorema rimane ancora valido. Ho visto (e capito) un esempio in cui si calcola la derivata di una funzione, questa derivata esiste in tutto $RR$ in particolare in $x=0$ vale $0$, tuttavia in $0$ la funzione non è continua (solo li) perché presenta un punto singolare (cioè un tipo particolare di 2°specie). In questo caso è palese che il teorema sia valido. Tuttavia per $u(x)$ che ha una discontinuità di 1° specie (il salto) non vale. Allora non sarebbe più corretto dire nel teorema che la funzione derivata ha la proprietà dei v.i., anche se discontinua, ma solo di 2° specie ? E per la 3° specie che si può dire ?
E si, questa è una conseguenza del teorema di Darboux: una funzione derivata può benissimo essere discontinua, ma le sue discontinuità non sono mai di salto. Quindi, di converso, se una funzione ha discontinuità di salto allora non è la derivata di nessun'altra funzione, ovvero non ha primitive.
Ti ringrazio, finalmente l'argomento è molto più chiaro
Alla prossima !
Alla prossima !
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