Lipschitzianità e iniettività

[thedarkhero]

Sia $f:RR->RR$ una funzione lipschitziana con costante di Lipschitz $L<1$ e sia $F:RR^2->RR^2$ una funzione definita da $F(x,y)=(x+f(y),y+f(x))$.
Posso dedurre che $F$ è iniettiva?

[Sk_Anonymous]

Scusa ma di solito come mostri che una funzione è suriettiva? Prendi un punto del codominio e provi che la fibra di tale punto sotto la funzione in questione è non vuota. Leggi bene quello che ho scritto:

"Delirium":[...] comunque preso \((a,b)\in \mathbb{R}^2\), \(G\) ammette un punto fisso, e cioè \(\exists (x_0, y_0)\) t.c. \(G(x_0,y_0)=(x_0,y_0)\), ossia \(a=f(y_0)+x_0\) e \(b=f(x_0) + y_0\). In altri termini: \(F\) è suriettiva.
Il punto chiave è appunto l'arbitrarietà di \((a,b)\).

Non sto "modificando" \(F\): ho solo mostrato che comunque scelto \((a,b) \in \mathbb{R}^2\), \(F^{\leftarrow}(\{(a,b)\}) \ne \varnothing \).
Quella che si "modifica" è \(G\), non \(F\).

[thedarkhero]

Ah si si giusto, avevo confuso la F con la G
Dunque mostrando che G è una contrazione si prova sia la suriettività di F che anche l'iniettività giusto? Perchè per il teorema di Banach il punto fisso è "unico".

[Sk_Anonymous]

"thedarkhero":Ah si si giusto, avevo confuso la F con la G
Dunque mostrando che G è una contrazione si prova sia la suriettività di F che anche l'iniettività giusto? Perchè per il teorema di Banach il punto fisso è "unico".

Sì.

[thedarkhero]

Ok grazie
Infine, c'è un modo per sapere se $F^-1$ è Lipschitziana senza calcolarla esplicitamente?

[Rigel1]

Ti basta avere una stima del tipo \(|F(x) - F(y)| \geq K |x-y|\) per ogni \(x,y\) (con \(K\) costante positiva).

[thedarkhero]

Non mi è chiarissimo perchè le condizioni:
1) $|F^-1(x)-F^-1(y)|<=L|x-y|$ $EEL>0$
2) $|F(x)-F(y)|>=K|x-y|$ $EEK>0$
sono equivalenti.
Intuitivamente la prima mi dice che $F^-1$ è Lipschitziana (cioè "riduce le distanze tra i punti") e la seconda che $F$ "aumenta le distanze tra i punti"...ma come lo posso vedere in maniera più "matematica"?

[Rigel1]

Supponi che valga (2). Supponiamo inoltre per semplicità che \(F\) sia biiettiva da \(\mathbb{R}^n\) in \(\mathbb{R}^n\).
Dati \(x,y\in\mathbb{R}^n\), vuoi far vedere che vale (1) (con \(L=1/K\)).
Siano \(z=F^{-1}(x)\), \(w = F^{-1}(y)\); usando (2) hai che
\[
|x-y| = |F(z) - F(w)| \geq K |z-w| = K |F^{-1}(x) - F^{-1}(y)|,
\]
cioè \(|F^{-1}(x) - F^{-1}(y)| \leq K^{-1} |x-y|\).

[thedarkhero]

Ah giusto, grazie
Nel mio caso ho che
$||F(x,y)-F(\barx,\bary)||=||(x+f(y),y+f(x))-(\barx+f(\bary),\bary+f(\barx))||=$
$=||(x-\barx+f(y)-f(\bary),y-\bary+f(x)-f(\barx))||$
poi però non riesco a minorare questa norma con $||(x,y)-(\barx,\bary)||$...

[Rigel1]

"thedarkhero":Nel mio caso ho che
$||F(x,y)-F(\barx,\bary)||=||(x+f(y),y+f(x))-(\barx+f(\bary),\bary+f(\barx))||=$
$=||(x-\barx+f(y)-f(\bary),y-\bary+f(x)-f(\barx))||$

Basta usare la disuguaglianza triangolare (inversa) e la Lipschitzianità di \(f\):
\[
\geq |(x-\bar{x}, y-\bar{y})| - |(f(y) - f(\bar{y}), f(x) - f(\bar{x})|
\geq (1-L) |(x-\bar{x}, y-\bar{y})| .
\]

[thedarkhero]

Ah grazie mille!