Lipschitzianità e iniettività
Sia $f:RR->RR$ una funzione lipschitziana con costante di Lipschitz $L<1$ e sia $F:RR^2->RR^2$ una funzione definita da $F(x,y)=(x+f(y),y+f(x))$.
Posso dedurre che $F$ è iniettiva?
Posso dedurre che $F$ è iniettiva?
Risposte
Direi di sì: siano infatti \(\displaystyle (x,y) \ne (x' , y') \) due punti distinti di \(\mathbb{R}^2\). Se fosse \(F(x,y)=F(x',y')\) allora \[\begin{cases} x + f(y) = x' + f(y') \\ y + f(x) = y' +f(x') \end{cases}\]cioè \[\begin{cases} |x -x'|= |f(y')-f(y)| \\ |y-y'| = |f(x') - f(x)| \end{cases} \]e sommando membro a membro si otterrebbe \[|x -x'|+|y-y'|=|f(x') - f(x)|+|f(y')-f(y)|\]mentre dovrebbe essere \[|x -x'|+|y-y'|<|f(x') - f(x)|+|f(y')-f(y)|\]per la lipschitzianità di \(f\).
Giusto, grazie!!
Se invece voglio mostrare la suriettività, mi daresti un suggerimento?
Se invece voglio mostrare la suriettività, mi daresti un suggerimento?
Dunque, da una parte credo che si possa utilizzare il teorema di invarianza del dominio e qualcos'altro per provare che \(F(\mathbb{R}^2)\) è sia chiuso che aperto (e quindi concludere che \(F(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R}^2\) per connessione), ma al momento non mi sovviene un'idea ragionevole...
L'altro suggerimento che ti do è il seguente: dato \((a,b) \in \mathbb{R}^2\) arbitrario ma fissato puoi considerare la funzione \(G:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) definita da \[G(x,y)=(a-f(y),b-f(x))\]
Riesci a provare che è una contrazione? E riesci a concludere attraverso il teorema del punto fisso di Banach?
L'altro suggerimento che ti do è il seguente: dato \((a,b) \in \mathbb{R}^2\) arbitrario ma fissato puoi considerare la funzione \(G:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) definita da \[G(x,y)=(a-f(y),b-f(x))\]
Riesci a provare che è una contrazione? E riesci a concludere attraverso il teorema del punto fisso di Banach?
Proviamo...
$d(G(x,y);G(x',y'))=d((a-f(y),b-f(x));(a-f(y'),b-f(x')))=d((-f(y),-f(x));(-f(y'),-f(x')))=$
$=sqrt((f(y)-f(y'))^2+(f(x)-f(x'))^2)<=sqrt((y-y')^2+(x-x')^2)=d((x,y);(x',y'))$
dunque ho mostrato che $G$ è contrazione giusto?
Inoltre $G$ va da $RR^2$ in $RR^2$ dunque $G(x,y)=(x,y)$ ammette una soluzione unica in $RR^2$.
Se fino a qui va bene, come posso usare questo fatto per concludere?
$d(G(x,y);G(x',y'))=d((a-f(y),b-f(x));(a-f(y'),b-f(x')))=d((-f(y),-f(x));(-f(y'),-f(x')))=$
$=sqrt((f(y)-f(y'))^2+(f(x)-f(x'))^2)<=sqrt((y-y')^2+(x-x')^2)=d((x,y);(x',y'))$
dunque ho mostrato che $G$ è contrazione giusto?
Inoltre $G$ va da $RR^2$ in $RR^2$ dunque $G(x,y)=(x,y)$ ammette una soluzione unica in $RR^2$.
Se fino a qui va bene, come posso usare questo fatto per concludere?
Beh, hai finito. Infatti comunque preso \((a,b)\in \mathbb{R}^2\), \(G\) ammette un punto fisso, e cioè \(\exists (x_0, y_0)\) t.c. \(G(x_0,y_0)=(x_0,y_0)\), ossia \(a=f(y_0)+x_0\) e \(b=f(x_0) + y_0\). In altri termini: \(F\) è suriettiva.
Il punto chiave è appunto l'arbitrarietà di \((a,b)\).
Il punto chiave è appunto l'arbitrarietà di \((a,b)\).
Ah già giusto 
Ti chiedo ancora un paio di chiarimenti sui passaggi che ho scritto sopra...
Il fatto intuitivamente ovvio che $d((a-f(y),b-f(x));(a-f(y'),b-f(x')))=d((-f(y),-f(x));(-f(y'),-f(x')))$ è giustificato da una qualche proprietà?
Inoltre, nel passaggio successivo ho scelto la norma 2 come funzione "distanza"...c'era un'alternativa che mi permettesse di non dover scegliere una fissata norma ma continuare a lavorare con una generica $d(*,*)$?
Ti chiedo ancora un paio di chiarimenti sui passaggi che ho scritto sopra...
Il fatto intuitivamente ovvio che $d((a-f(y),b-f(x));(a-f(y'),b-f(x')))=d((-f(y),-f(x));(-f(y'),-f(x')))$ è giustificato da una qualche proprietà?
Inoltre, nel passaggio successivo ho scelto la norma 2 come funzione "distanza"...c'era un'alternativa che mi permettesse di non dover scegliere una fissata norma ma continuare a lavorare con una generica $d(*,*)$?
Potresti pensarla in termini di spazio affine: i punti \[\begin{pmatrix} a - f(y) \\ b - f(x) \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad \begin{pmatrix} a - f(y') \\ b - f(x') \end{pmatrix} \] sono i traslati "sotto l'azione" del vettore \((a,b)^t\) dei punti \[\begin{pmatrix} - f(y) \\ - f(x) \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad \begin{pmatrix} - f(y') \\ - f(x') \end{pmatrix} \]ed essendo la traslazione un'isometria...
Quanto all'altra domanda, ho un dubbio anch'io: infatti non sono sicuro che utilizzando un'altra metrica la costante di Lipschitz rimanga la stessa
Quanto all'altra domanda, ho un dubbio anch'io: infatti non sono sicuro che utilizzando un'altra metrica la costante di Lipschitz rimanga la stessa
Più che altro l'unica disuguaglianza di cui gode una generica funzione distanza è quella triangolare, e in questo caso mi riesce difficile vedere come applicandola si possa ottenere il risultato voluto...
"thedarkhero":
Più che altro l'unica disuguaglianza di cui gode una generica funzione distanza è quella triangolare, e in questo caso mi riesce difficile vedere come applicandola si possa ottenere il risultato voluto...
Infatti credo che funzioni lipschitziane in una distanza \(d_1\) non siano necessariamente lipschitziane in una distanza \(d_2\), o quantomeno non lo sono con la stessa costante di Lipschitz
Uhm...non mi è chiara una cosa...se utilizzo la metrica $||*||_2$ per mostrare che $F$ è suriettiva, allora potrebbe essere che in $RR^2$ dotato di una metrica diversa da $||*||_2$ $F$ non sia più suriettiva quindi?
Direi di no, perché la suriettività non è una proprietà metrica (la definizione di suriettività non fa riferimento alla metrica, ma solo agli elementi del codominio - quando provi che \(f(x)=x\) è su non chiami in causa distanze tra punti).
In questo caso abbiamo utilizzato una proprietà indotta dalla struttura, anche perché di \(f\) non abbiamo un'espressione analitica (e quindi, a rigore, \(F\) è una famiglia di funzioni)...
In questo caso abbiamo utilizzato una proprietà indotta dalla struttura, anche perché di \(f\) non abbiamo un'espressione analitica (e quindi, a rigore, \(F\) è una famiglia di funzioni)...
"Delirium":
In questo caso abbiamo utilizzato una proprietà indotta dalla struttura, anche perché di \(f\) non abbiamo un'espressione analitica (e quindi, a rigore, \(F\) è una famiglia di funzioni)...
Ma chi ci dice che la metrica indotta da $RR^2$ è proprio $||*||_2$?
In altre parole, scegliendo di utilizzare come metrica $||*||_2$ non abbiamo provato che la funzione è suriettiva indipendentemente dalla metrica giusto?
Di norma, salvo differenti notifiche, su $RR^n$ si utilizza la distanza indotta dalla norma standard.
Comunque ho capito la tua perplessità, ma finora non sono ancora riuscito a dare(/darmi) una risposta, che a questo punto incuriosisce anche me.
Espando, sperando che qualcuno che ne sa più di me passi di qui: è vero che la proprietà di una funzione di essere suriettiva non dipende dalla metrica scelta ( - questo direi che è vero)? E' vero che una contrazione secondo una metrica può non esserlo più secondo un'altra metrica ( - anche questo mi sembra vero)? Come provare che $F$ è suriettiva senza passare per la lipschitzianità di $f$ secondo la distanza euclidea? Teorema di invarianza del dominio + argomenti di connessione?
Comunque ho capito la tua perplessità, ma finora non sono ancora riuscito a dare(/darmi) una risposta, che a questo punto incuriosisce anche me.
Espando, sperando che qualcuno che ne sa più di me passi di qui: è vero che la proprietà di una funzione di essere suriettiva non dipende dalla metrica scelta ( - questo direi che è vero)? E' vero che una contrazione secondo una metrica può non esserlo più secondo un'altra metrica ( - anche questo mi sembra vero)? Come provare che $F$ è suriettiva senza passare per la lipschitzianità di $f$ secondo la distanza euclidea? Teorema di invarianza del dominio + argomenti di connessione?
"Delirium":
è vero che la proprietà di una funzione di essere suriettiva non dipende dalla metrica scelta ( - questo direi che è vero)?
Sì, è vero. La nozione di iniettività/suriettività si può dare per funzioni qualsiasi fra insiemi qualsiasi; in caso questi insiemi siano muniti di qualche struttura, tale nozione è indipendente dalla struttura.
E' vero che una contrazione secondo una metrica può non esserlo più secondo un'altra metrica ( - anche questo mi sembra vero)?
Sì. è vero. La funzione \(f(x) = x\), \(x\in\mathbb{R}\) è una contrazione per la metrica \(d(x,y) = |x-y|/2\) ma non è una contrazione per la metrica \(d(x,y) = 2|x-y|\).
Come provare che $F$ è suriettiva senza passare per la lipschitzianità di $f$ secondo la distanza euclidea? Teorema di invarianza del dominio + argomenti di connessione?
Il fatto che \(f\) sia Lipschitziana con costante di Lipschitz \(L<1\) gioca un suo ruolo (se prendi \(f(x) = x\) vedi subito che la funzione \(F\) non è suriettiva).
Non è ovviamente una condizione necessaria; in particolare, se \(F\) è localmente iniettiva e \(|F(x)| \to +\infty\) per \(|x| \to +\infty\), allora puoi usare gli argomenti da te segnalati (avresti infatti che \(F(\mathbb{R}^n)\) è aperto per il teorema di invarianza del dominio, mentre usando la condizione di coercitività si dimostra che \(F(\mathbb{R}^n)\) è anche chiuso).
Perfetto, grazie Rigel!
Grazie mille ad entrambi!
Dunque ricapitolando, la funzione $F(x,y)$ che avevo scritto sopra è una contrazione rispetto alla distanza euclidea ma se scegliamo un'altra metrica non è detto che lo sia, corretto?
Se ciò è corretto, allora prendendo la distanza euclidea abbiamo mostrato che la funzione è suriettiva, ma essendo la definizione di suriettività indipendente dalla metrica scelta abbiamo che la funzione è in generale suriettiva.
Mi date conferma?
Dunque ricapitolando, la funzione $F(x,y)$ che avevo scritto sopra è una contrazione rispetto alla distanza euclidea ma se scegliamo un'altra metrica non è detto che lo sia, corretto?
Se ciò è corretto, allora prendendo la distanza euclidea abbiamo mostrato che la funzione è suriettiva, ma essendo la definizione di suriettività indipendente dalla metrica scelta abbiamo che la funzione è in generale suriettiva.
Mi date conferma?
"thedarkhero":
Grazie mille ad entrambi!
Dunque ricapitolando, la funzione $F(x,y)$ che avevo scritto sopra è una contrazione rispetto alla distanza euclidea ma se scegliamo un'altra metrica non è detto che lo sia, corretto? [...]
Esatto.
"thedarkhero":
Se ciò è corretto, allora prendendo la distanza euclidea abbiamo mostrato che la funzione è suriettiva, ma essendo la definizione di suriettività indipendente dalla metrica scelta abbiamo che la funzione è in generale suriettiva.
Mi date conferma?
Sì, come ha detto Rigel la dimostrazione fornisce una condizione sufficiente alla suriettività.
"Delirium":
Beh, hai finito. Infatti comunque preso \((a,b)\in \mathbb{R}^2\), \(G\) ammette un punto fisso, e cioè \(\exists (x_0, y_0)\) t.c. \(G(x_0,y_0)=(x_0,y_0)\), ossia \(a=f(y_0)+x_0\) e \(b=f(x_0) + y_0\). In altri termini: \(F\) è suriettiva.
Il punto chiave è appunto l'arbitrarietà di \((a,b)\).
Mi viene ancora un dubbio, non uccidermi
Quello che dici tu vale per \((a,b)\in \mathbb{R}^2\) fissati, noi al posto di quelli abbiamo $x$ e $y$ che non sono fissati, giusto? Questo non è un problema?
\((a,b)\) è fissato, ma arbitrario (puoi prendere \((3,5)\), \((\pi,e)\), \((\text{quello che ti pare},\text{ quello che ti pare})\)), nel senso che su di esso non ci sono altre ipotesi. Questo è sufficiente per concludere.
Appunto, mentre per come è definita F non possiamo "fissare" quei valori, altrimenti non stiamo più parlando della nostra funzione F di partenza, no?
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