Lipschitzianità dell'esponenziale
Ciao a tutti... mi chiedevo come poter dimostrare la validità della condizione di Lipschitz per la funzione esponenziale $e^x$.
Dovrei provare, dunque:
$| \frac {e^(x_1) - e^(x_0)}{x_1 - x_0} |< M$ con $M in RR$.
L'esponenziale non è a derivata equilimitata, e quella di sopra è una disequazione trascendente.. Su itnernet non ho trovato niente, e nemmeno nel libro di analisi 1.. Suggerimenti?
Dovrei provare, dunque:
$| \frac {e^(x_1) - e^(x_0)}{x_1 - x_0} |< M$ con $M in RR$.
L'esponenziale non è a derivata equilimitata, e quella di sopra è una disequazione trascendente.. Su itnernet non ho trovato niente, e nemmeno nel libro di analisi 1.. Suggerimenti?
Risposte
La funzione esponenziale non è Lipschitziana su tutto $\mathbb{R}$ (infatti, come hai notato tu, la derivata non è limitata).
Puoi però dimostrare che è Lipschitziana su ogni semiretta del tipo $(-\infty, a]$ o, se preferisci, su ogni sottoinsieme di $\mathbb{R}$ che sia limitato superiormente.
Puoi però dimostrare che è Lipschitziana su ogni semiretta del tipo $(-\infty, a]$ o, se preferisci, su ogni sottoinsieme di $\mathbb{R}$ che sia limitato superiormente.
Mmm.. e sai qualcosa di più su questa dimostrazione?
Be', l'esponenziale e continuo e derivabile; pertanto, in questo caso, Lispchitz equivale a derivata prima limitata.
Ma $f'(x)=e^x$ che è ovviamente limitata superiormente su un intervallo del tipo $(-oo,M]$ (da $e^M$ che è anche una costante di Lispchitz buona).
Che cosa non ti torna?
Ma $f'(x)=e^x$ che è ovviamente limitata superiormente su un intervallo del tipo $(-oo,M]$ (da $e^M$ che è anche una costante di Lispchitz buona).
Che cosa non ti torna?
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