Lipschitzianeità e suriettività, funzione di due variabili
Non riesco a proseguire con questo esercizio:
Sia [tex]f: R \rightarrow R[/tex] una contrazione con costante di Lipschitz [tex]L[/tex], provare che la funzione [tex]F: R^2 \rightarrow R^2[/tex] definita da [tex]F(x,y)=F(x+f(y),y+f(x))[/tex] è iniettiva e suriettiva. Dire inoltre se l'inversa è Lipschitziana.
Sono riuscito a mostrare l'iniettività:
[tex]F(x_1,y_1)=F(x_2,y_2) \Rightarrow \left\{
\begin{array}{cc}
x_1+f(y_1)=x_2+f(y_2) \\
y_1+f(x_1)=y_2+f(x_2)
\end{array}
\right. \Rightarrow \left\{
\begin{array}{cc}
\left|x_1-x_2\right|=\left|f(y_1)-f(y_2)\right| \leq L \left|y_1-y_2\right|\\
\left|y_1-y_2\right|=\left|f(x_1)-f(x_2)\right| \leq L \left|x_1-x_2\right|
\end{array}
\right.[/tex]
e quindi si ha
[tex]\left\{ \begin{array}{cc}
\left|x_1-x_2\right|\leq L^2 \left|x_1-x_2\right|\\
\left|y_1-y_2\right|\leq L^2 \left|y_1-y_2\right|
\end{array}
\right.[/tex] e poiché [tex]L<1 \left\{ \begin{array}{cc}
x_1=x_2\\
y_1=y_2
\end{array}
\right.[/tex]
Per la suriettività però non ho idee. Non so se può servire, ma ho dimostrato anche che [tex]F[/tex] è Lipschitziana con costante di Lipschitz [tex]L+1[/tex]:
[tex]\left|F(x_1,y_1)-F(x_2,y_2)\right|=\left|x_1+f(y_1)-x_2-f(y_2),y_1+f(x_1)-y_2-f(x_2)\right|=[/tex]
[tex]=\left|(x_1-x_2)+(f(y_1)-f(y_2)),(y_1-y_2)+(f(x_1)-f(x_2))\right|\leq[/tex]
[tex]\left|x_1-x_2,y_1-y_2\right|+\left|f(x_1)-f(x_2),f(y_1)-f(y_2)\right|[/tex]
ma [tex]\left|f(x_1)-f(x_2),f(y_1)-f(y_2)\right|\leq L\left|x_1-x_2,y_1-y_2\right|[/tex],
dunque [tex]\left|F(x_1,y_1)-F(x_2,y_2)\right|\leq(1+L)\left|(x_1,y_1)-(x_2,y_2)\right|[/tex]
Forse queste disuguaglianze si possono migliorare fino a mostrare che [tex]F[/tex] è una contrazione? A occhio non mi sembra, e comunque non saprei bene cosa farmene.
Un grazie anticipato
Sia [tex]f: R \rightarrow R[/tex] una contrazione con costante di Lipschitz [tex]L[/tex], provare che la funzione [tex]F: R^2 \rightarrow R^2[/tex] definita da [tex]F(x,y)=F(x+f(y),y+f(x))[/tex] è iniettiva e suriettiva. Dire inoltre se l'inversa è Lipschitziana.
Sono riuscito a mostrare l'iniettività:
[tex]F(x_1,y_1)=F(x_2,y_2) \Rightarrow \left\{
\begin{array}{cc}
x_1+f(y_1)=x_2+f(y_2) \\
y_1+f(x_1)=y_2+f(x_2)
\end{array}
\right. \Rightarrow \left\{
\begin{array}{cc}
\left|x_1-x_2\right|=\left|f(y_1)-f(y_2)\right| \leq L \left|y_1-y_2\right|\\
\left|y_1-y_2\right|=\left|f(x_1)-f(x_2)\right| \leq L \left|x_1-x_2\right|
\end{array}
\right.[/tex]
e quindi si ha
[tex]\left\{ \begin{array}{cc}
\left|x_1-x_2\right|\leq L^2 \left|x_1-x_2\right|\\
\left|y_1-y_2\right|\leq L^2 \left|y_1-y_2\right|
\end{array}
\right.[/tex] e poiché [tex]L<1 \left\{ \begin{array}{cc}
x_1=x_2\\
y_1=y_2
\end{array}
\right.[/tex]
Per la suriettività però non ho idee. Non so se può servire, ma ho dimostrato anche che [tex]F[/tex] è Lipschitziana con costante di Lipschitz [tex]L+1[/tex]:
[tex]\left|F(x_1,y_1)-F(x_2,y_2)\right|=\left|x_1+f(y_1)-x_2-f(y_2),y_1+f(x_1)-y_2-f(x_2)\right|=[/tex]
[tex]=\left|(x_1-x_2)+(f(y_1)-f(y_2)),(y_1-y_2)+(f(x_1)-f(x_2))\right|\leq[/tex]
[tex]\left|x_1-x_2,y_1-y_2\right|+\left|f(x_1)-f(x_2),f(y_1)-f(y_2)\right|[/tex]
ma [tex]\left|f(x_1)-f(x_2),f(y_1)-f(y_2)\right|\leq L\left|x_1-x_2,y_1-y_2\right|[/tex],
dunque [tex]\left|F(x_1,y_1)-F(x_2,y_2)\right|\leq(1+L)\left|(x_1,y_1)-(x_2,y_2)\right|[/tex]
Forse queste disuguaglianze si possono migliorare fino a mostrare che [tex]F[/tex] è una contrazione? A occhio non mi sembra, e comunque non saprei bene cosa farmene.
Un grazie anticipato
Risposte
In effetti non è detto che \(F\) sia una contrazione (e nemmeno serve).
Per la suriettività ti basta sapere che \(F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) è una mappa continua tale che:
(a) \(F\) è localmente iniettiva;
(b) \(|F(x,y)| \to +\infty\) quando \(|(x,y)|\to +\infty\).
Infatti da (a) deduci che \(F\) è una mappa aperta, cioè manda aperti in aperti (teorema di invarianza del dominio), e di conseguenza \(F(\mathbb{R}^2)\) è aperto.
Da (b) deduci invece che \(F(\mathbb{R}^2)\) è chiuso: se infatti \(F(x_n, y_n) \to (w,z)\), allora \((x_n,y_n)_n\) è una successione limitata, dunque ammette un'estratta \((x_{n_k}, y_{n_k})_k\) convergente, diciamo a \((x_0, y_0)\), e infine si ha \(F(x_0, y_0) = (w,z)\).
Poiché \(F(\mathbb{R}^2)\) è contemporaneamente aperto e chiuso, e dal momento che \(\mathbb{R}^2\) è connesso, dobbiamo necessariamente avere che \(F(\mathbb{R}^2) = \mathbb{R}^2\).
Non escludo che nel caso specifico possa esserci una dimostrazione che non faccia uso del teorema di invarianza del dominio (o, più in generale, del grado topologico).
Per la suriettività ti basta sapere che \(F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) è una mappa continua tale che:
(a) \(F\) è localmente iniettiva;
(b) \(|F(x,y)| \to +\infty\) quando \(|(x,y)|\to +\infty\).
Infatti da (a) deduci che \(F\) è una mappa aperta, cioè manda aperti in aperti (teorema di invarianza del dominio), e di conseguenza \(F(\mathbb{R}^2)\) è aperto.
Da (b) deduci invece che \(F(\mathbb{R}^2)\) è chiuso: se infatti \(F(x_n, y_n) \to (w,z)\), allora \((x_n,y_n)_n\) è una successione limitata, dunque ammette un'estratta \((x_{n_k}, y_{n_k})_k\) convergente, diciamo a \((x_0, y_0)\), e infine si ha \(F(x_0, y_0) = (w,z)\).
Poiché \(F(\mathbb{R}^2)\) è contemporaneamente aperto e chiuso, e dal momento che \(\mathbb{R}^2\) è connesso, dobbiamo necessariamente avere che \(F(\mathbb{R}^2) = \mathbb{R}^2\).
Non escludo che nel caso specifico possa esserci una dimostrazione che non faccia uso del teorema di invarianza del dominio (o, più in generale, del grado topologico).
La suriettività di \( f\) si può provare anche in questo modo:
Sia \( \displaystyle (u,v) \in \mathbb{R}^2\), consideriamo l'applicazione \( \displaystyle \Phi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) definita da : \( \displaystyle \Phi(x,y)=(u-f(y),v-f(x))\). Abbiamo, considerando la distanza euclidea:
\(\displaystyle d((\Phi(x_1,y_1)),(\Phi(x_2,y_2))) =d((u-f(y_2),v-f(x_2)),(u-f(y_1),v-f(x_1))\)
\( \displaystyle =\sqrt{|f(y_2)-f(y_1)|^2+|f(x_2)-f(x_1)|^2}\leq L\sqrt{|y_2-y_1|^2+|x_2-x_1|^2}\leq Ld((x_1,y_1),(x_2,y_2))\).
L'applicazione \( \Phi(x,y)\) è una contrazione e per il teorema del punto fisso esiste un solo punto \( (x_0,y_0)\) tale che
\( \Phi(x_0,y_0)=(x_0,y_0)\), cioè \( (x_0+f(y_0),y_0+f(x_0))=(u,v)\)
Sia \( \displaystyle (u,v) \in \mathbb{R}^2\), consideriamo l'applicazione \( \displaystyle \Phi: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) definita da : \( \displaystyle \Phi(x,y)=(u-f(y),v-f(x))\). Abbiamo, considerando la distanza euclidea:
\(\displaystyle d((\Phi(x_1,y_1)),(\Phi(x_2,y_2))) =d((u-f(y_2),v-f(x_2)),(u-f(y_1),v-f(x_1))\)
\( \displaystyle =\sqrt{|f(y_2)-f(y_1)|^2+|f(x_2)-f(x_1)|^2}\leq L\sqrt{|y_2-y_1|^2+|x_2-x_1|^2}\leq Ld((x_1,y_1),(x_2,y_2))\).
L'applicazione \( \Phi(x,y)\) è una contrazione e per il teorema del punto fisso esiste un solo punto \( (x_0,y_0)\) tale che
\( \Phi(x_0,y_0)=(x_0,y_0)\), cioè \( (x_0+f(y_0),y_0+f(x_0))=(u,v)\)
Grazie ad entrambi, a Rigel per il teorema che mi sembra molto utile e che non conoscevo, e a totissimus per il bel trucco. Adesso con iniettività e suriettività di [tex]F[/tex] sono a posto, resta solo da discutere la Lipschitzianità dell'inversa.
Provo a dimostrare che \( F^{-1}\) è lipschitziana:
\( \displaystyle F(x_1,y_1)=(u_1,v_1)=(x_1+f(y_1),y_1+f(x_1))\)
\( \displaystyle F(x_2,y_2)=(u_2,v_2)=(x_2+f(y_2),y_2+f(x_2))\)
\( \displaystyle (x_1-x_2)^2=(u_1-f(y_1)-u_2+f(y_2))^2\)
\(=(u_1-u_2)^2+(f(y_1)-f(y_2))^2+2(u_1-u_2)(f(y_2)-f(y_1))\)
\(\displaystyle \leq (u_1-u_2)^2+L^2(y_1-y_2)^2+2L|u_1-u_2||y_1-y_2|\)
Analogamente:
\(\displaystyle (y_1-y_2)^2 \leq (v_1-v_2)^2+L^2(x_1-x_2)^2+2L|v_1-v_2||x_1-x_2| \)
Quindi:
\( \displaystyle (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 \leq (u_1-u_2)^2+(v_1-v_2)^2+L^2[(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2]+\)
\(\displaystyle +2L(|u_1-u_2||y_1-y_2|+|v_1-v_2||x_1-x_2|)\)
Poniamo per semplicità:
\( d^2 =(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\) e \( D^2=(u_1-u_2)^2+(v_1-v_2)^2\)
applicando la disuguaglianza si Swartz al prodotto scalare che appare nell'ultima parentesi, otteniamo:
\( \displaystyle d^2 \leq D^2+L^2 d^2+2LdD\)
\( \displaystyle (1-L^2)d^2-2LDd-D^2 \leq 0\)
Le radici del trinomio sono \(\displaystyle -\frac{D}{1+L}\) e \( \displaystyle \frac{D}{1-L}\) quindi tenuto conto che \( d \geq 0\) otteniamo:
\( \displaystyle d \leq \frac{D}{1-L}\) cioè la lipschizianità di \( F^{-1}\)
\( \displaystyle F(x_1,y_1)=(u_1,v_1)=(x_1+f(y_1),y_1+f(x_1))\)
\( \displaystyle F(x_2,y_2)=(u_2,v_2)=(x_2+f(y_2),y_2+f(x_2))\)
\( \displaystyle (x_1-x_2)^2=(u_1-f(y_1)-u_2+f(y_2))^2\)
\(=(u_1-u_2)^2+(f(y_1)-f(y_2))^2+2(u_1-u_2)(f(y_2)-f(y_1))\)
\(\displaystyle \leq (u_1-u_2)^2+L^2(y_1-y_2)^2+2L|u_1-u_2||y_1-y_2|\)
Analogamente:
\(\displaystyle (y_1-y_2)^2 \leq (v_1-v_2)^2+L^2(x_1-x_2)^2+2L|v_1-v_2||x_1-x_2| \)
Quindi:
\( \displaystyle (x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 \leq (u_1-u_2)^2+(v_1-v_2)^2+L^2[(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2]+\)
\(\displaystyle +2L(|u_1-u_2||y_1-y_2|+|v_1-v_2||x_1-x_2|)\)
Poniamo per semplicità:
\( d^2 =(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\) e \( D^2=(u_1-u_2)^2+(v_1-v_2)^2\)
applicando la disuguaglianza si Swartz al prodotto scalare che appare nell'ultima parentesi, otteniamo:
\( \displaystyle d^2 \leq D^2+L^2 d^2+2LdD\)
\( \displaystyle (1-L^2)d^2-2LDd-D^2 \leq 0\)
Le radici del trinomio sono \(\displaystyle -\frac{D}{1+L}\) e \( \displaystyle \frac{D}{1-L}\) quindi tenuto conto che \( d \geq 0\) otteniamo:
\( \displaystyle d \leq \frac{D}{1-L}\) cioè la lipschizianità di \( F^{-1}\)
Grazie ancora per la spiegazione dettagliata! (Confermo che è corretta.) Ora sono proprio a posto.
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