$Lip[a,b]\subset AC[a,b]$

[salvozungri]

Siano $Lip[a,b]$ l'insieme delle funzioni lipschitziane in $[a, b]$, $AC[a,b]$ è l'insieme delle funzioni assolutamente continue nello stesso intervallo. Ovviamente $Lip[a,b]\subset AC[a,b]$. Per dimostrare che Lip[a,b] è un sottoinsieme proprio di AC[a, b], abbiamo studiato la funzione $f:[0,1]\to RR,\quad f(x)= \sqrt(x)$. Essa non è lipschitziana, ma invece è assolutamente continua. Ora non ho problemi a dimostrare che non appartiene a $Lip[0,1]$, ma ho molte perplessità per quanto riguarda l'assoluta continuità.

Riporto dai miei appunti:
Fissato $\epsilon>0$. Sia $\delta'>0$ tale che $\sqrt(\{delta'}/2)<\epsilon/2$. Su $[\{delta'}/2,1], sqrt(x) $ è di Lipschitz con costante $L=f'(\{delta'}/2)= 1/(2sqrt(\{delta'}/2))$. Sia ora $delta''= \epsilon/(2L)$ prendiamo $\delta= min(\delta', \delta'')$. Se $[a_k,b_k]$ sono a due a due disgiunti e di misura complessiva minore di $\delta$ allora (dopo aver eventualmente spezzato in due l'intervallo a cavallo di ${\delta'}/2$)
$\sum_{k=1}^n |f(b_k)-f(a_k)|=\sum_{k=1}^h |f(b_k)-f(a_k)|+\sum_{k=h+1}^n |f(b_k)-f(a_k)|< \epsilon/2+\sum_{k=h+1}^n(b_k-a_k)\epsilon/(2L) *L = \epsilon$

$\sum_{k=1}^h |f(b_k)-f(a_k)|<\epsilon/2$ e qui ci sono. (In pratica qui stiamo lavorando con gli intervalli che si trovano in $[0, {\delta'}/2]$)
Il mio problema è
$\sum_{k=h+1}^n |f(b_k)-f(a_k)|$ dovrebbe essere minore di $\sum_{k=h+1}^n(b_k-a_k)\epsilon/(2L) *L$ (qui stiamo lavorando con gli intervalli contenuti in $({\delta'}/2,1]$), ma non riesco a giustificare il passaggio. Di date qualche consiglio in merito? Grazie .

Se il testo dovesse risultare poco chiaro, non fatevi problemi a chiedere. Speranzoso attendo

[gugo82]

Com'è definito $AC([a,b])$?

Tipo, $f\in AC([a,b])$ se e solo se risulta:

$AA epsilon>0, exists delta>0: AA n in NN,$
$\quad AA "famiglia "\{ [a_k,b_k]\}_(k=0,\ldots ,n) " di intervalli " \subseteq [a,b] ", disgiunta con " sum_(k=0)^n b_k-a_k $\quad \quad \sum_(k=0)^n |f(b_k)-f(a_k)|
Ad ogni modo, mi pare che il passaggio sia giusto perchè gli intervallini $[a_k,b_k]$ con $k>h$ cadono nell'intervallo in cui $sqrt(x)$ è lipschitziana.
Più che altro è la maggiorazione:

$\sum_(k=0)^h |f(b_k)-f(a_k)|
che non mi viene immediata... Probabilmente c'è sotto la uniforme continuità o la concavità (o entrambe) di $f$, ma non vedo come si possa ottenere un $delta'$ non dipendente dalla cardinalità della famiglia di intervalli.

[salvozungri]

Innanzitutto ti ringrazio per l'interessamento
Dunque veniamo a noi:
Una funzione $f:[a,b]\toRR$ è assolutamente continua se e solo se per definizione$\forall \epsilon>0, exists \delta(\epsilon)>0$ tale che presi $[a_k, b_k]\subset [a,b]$ a due a due disgiunti con $k=1,\cdots,n$ se $\sum_{k=1}^n (b_k-a_k)<\delta=> \sum_{k=1}^n|f(b_k)-f(a_k)|<\epsilon$

[gugo82]

Sì, ho corretto... Mi ero confuso con $BV([a,b])$.

Ad ogni modo, forse hai sbagliato a trascrivere in aula: mi pare che la cosa prosegua più o meno così:

$\sum_(k=h+1)^n |f(b_k)-f(a_k)|<=\sum_(k=h+1)^n L*(b_k-a_k) <=L*delta<=L*delta''=L*epsilon/(2L)=epsilon/2$.


Però alla prima maggiorazione ancora non ci arrivo... Sto invecchiando.

[Luca.Lussardi]

Non ho ben seguito il ragionamento, comunque se uno è interessato ad una verifica alternativa e deriva $\sqrt x$ scopre che la derivata è $L^1(0,1)$, quindi $\sqrt x$ è $AC(0,1)$.

[salvozungri]

"Gugo82":
Più che altro è la maggiorazione:

$\sum_(k=0)^h |f(b_k)-f(a_k)|
che non mi viene immediata... .

Scusa per il ritardo nella risposta. Stavo cercando di creare un grafico, ma non sono riuscito nel mio intento. Comunque segue dalla definizione di $\delta'$. Infatti $f(b_1)-f(a_1)+f(b_2)-f(a_2)+...+f(b_h)-f(a_h)
Il mio propblema è quell'$epsilon/(2L)$. Non ho idea di dove salti fuori
Mi sto scervellando da ore su questo esempio, alle volte mi chiedo se sono davvero all'altezza....

[gugo82]

L'hai scritto tu da dove esce!

"Mathematico":Riporto dai miei appunti:
Fissato $\epsilon>0$. Sia $\delta'>0$ tale che $\sqrt(\{delta'}/2)<\epsilon/2$. Su $[\{delta'}/2,1], sqrt(x) $ è di Lipschitz con costante $L=f'(\{delta'}/2)= 1/(2sqrt(\{delta'}/2))$. Sia ora $delta''= \epsilon/(2L)$ prendiamo $\delta= min(\delta', \delta'')$.

Dopo ti ho fatto notare come si usa:

"Gugo82":Ad ogni modo, forse hai sbagliato a trascrivere in aula: mi pare che la cosa prosegua più o meno così:

$\sum_(k=h+1)^n |f(b_k)-f(a_k)|<=\sum_(k=h+1)^n L*(b_k-a_k) <=L*delta<=L*delta''=L*epsilon/(2L)=epsilon/2$.

Insomma quel $delta''=epsilon/(2L)$ ti serve per sfruttare la lipschitzianità.


P.S.: A questa:

"Mathematico":$f(b_1)-f(a_1)+f(b_2)-f(a_2)+...+f(b_h)-f(a_h)
[che poi sarebbe a dire $\sum_(k=0)^h f(b_k)-f(a_k) <= f("sup" \{b_1,b_2, \ldots ,b_h \})$, n.d. Gugo]

non ci avevo pensato... Ah, bella cosa la monotonia!

[salvozungri]

Credo di non aver capito cosa chiedi, io ho ragionato su un disegnino . In modo molto informale $f(b_k)-f(a_k)$ rappresenta la lunghezza dell'intervallo $[f(a_k), f(b_k)]$ contenuto in $[0, f({\delta'}/2)]$. Ora $\bigcup_{k=1}^h[f(a_k), f(b_k)] \subset [0, f({\delta'}/2)]$ segue dunque che $\sum_{k=1}^h(f(b_k)-f(a_k))
Quanto l'ho sparata grossa?

[size=75]Edit:tolto un valore assoluto superfluo[/size]
[size=75]Edit2: Modificato l'indice di una sommatoria[/size]

[gugo82]

Io non ho fatto il disegnino, ma me l'ero cavata così: per la stretta crescenza di $f$ e l'ordinamento non crescente degli $a_k, b_k$ (nel senso che $a_0
$\sum_(k=0)^h |f(b_k)-f(a_k)|= \sum_(k=0)^h f(b_k)-f(a_k) =f(b_h)-\sum_(k=1)^(h) f(a_k)-f(b_(k-1))-f(a_0)$

ma la quantità $\sum_(k=1)^(h) f(a_k)-f(b_(k-1))$ è $>=0$, quindi è:

$\sum_(k=0)^h |f(b_k)-f(a_k)| <=f(b_h)-f(a_0)$

e per la monotonia di $f$:

$\sum_(k=0)^h |f(b_k)-f(a_k)| <=f((delta')/2)-f(0)=epsilon/2$.

[salvozungri]

Grande Gugo82. In quale secolo raggiungerò la tua preparazione? Ad ogni modo, ho ripreso la registrazione della lezione, in modo da controllare il passaggio:

$\sum_{k=1}^n |f(b_k)-f(a_k)|=\sum_{k=1}^h |f(b_k)-f(a_k)|+\sum_{k=h+1}^n |f(b_k)-f(a_k)|< \epsilon/2+\sum_{k=h+1}^n(b_k-a_k)\epsilon/(2L) *L = \epsilon$

Questo lo giustifica dicendo che $\sum_{k=h+1}^n(b_k-a_k)<1$, ma ritengo che sia sbagliato. Ho letto il 4° post e fila che è una meraviglia. L'avevo scritto anche io, ma l'insicurezza mi portava a dire che è sbagliato . Complimenti Gugo82.

@Luca.Lussardi: Mi piacerebbe approfondire ciò che tu hai scritto, ma credo che dietro alla tua affermazione ci sia un teorema che non ho trattato. Potresti enunciarlo se non ti è di peso? Grazie

[Luca.Lussardi]

Richiede la conoscenza degli spazi di Sobolev che forse non conosci... comunque tre le righe dice che $AC(a,b)=W^{1,1}(a,b)$.

[gugo82]

Vabbè si trattava di giocare un po' con la funzione.
C'è chi è molto più preparato di me qui, tipo Luca, VG, Fioravante, etc...

Inoltre il passaggio registrato non mi convince molto, non tanto perchè non sia vero che $\sum_(k=h+1)^n b_k-a_k<1$ (anzi è verissimo, giacché l'unione degli intervallini è contenuta in $[0,1]$), ma perchè mi pare difficile far comparire $L$ senza usare la lipschitzianità e $delta''=epsilon/(2L)$ senza sommare le ampiezze $b_k-a_k$...
Mah, può darsi che sbagli ed abbiamo la soluzione sotto il naso senza rendercene conto.


@Luca: Ma ti sei sposato? Il fiore all'occhiello fa tanto matrimonio...

[salvozungri]

Non abbiamo trattato questo argomento, grazie a tutt'e due per l'interessamento. In questi giorni andrò dal docente e chiederò spiegazioni, anche se la risposta di Gugo82 è più che soddisfacente. Buonaserata e ancora mille grazie!!:-D

[salvozungri]

Ragazzi, vi ringrazio! Mi avete fatto fare un figurone all'esame. Gugo82 aveva ragione. Mi ha chiesto proprio questo argomento ed è andata alla grande! Inoltre ho studiato per mio conto gli spazi di Sobolev e, finito l'esame, ho instaurato una discussione con il professore su tali spazi, durata 30 minuti... Mi ha estasiato.
Vi ringrazio molto a tutti e due. Siete GRANDI (spero che i moderatori possano capire questo "urletto di gioia") Grazie Grazie Grazie

[Luca.Lussardi]

Bene, complimenti.

Per Gugo82: è vero che il fiore all'occhiello fa matrimonio, ed infatti così era, ma non era il mio bensì quello di mia sorella.

[gugo82]

Complimenti a Mathematico; fa sempre piacere sapere di essere stati d'aiuto in qualche modo.

@Luca.Lussardi: Auguri a tua sorella.