L^{\infty}_{loc}
Ciao a tutti,
vorrei dimostrare la seguente proprietà:
"Sia data una funzione $f\in W^{1,p}(X,R^n)$ con $X\subset R^n$ aperto e limitato. Dato $b\in X$, supponiamo che $f$ ristretta a $S(b,r)$ (il bordo della palla $B(b,r)$) sia continua per quasi ogni $r\in (0,dist(b,\partial X))$ (dove con $\partial X$ indico la frontiera di $X$). [Supponiamo inoltre che per ogni $x\in B[b,r]$ il punto $f(x)$ ha grado topologico diverso da 0 o $f(x)\in f(S(b,r))$.] Allora $f$ sta in $L^{\infty}_(loc)$."
Nel dimostrarlo io considero una palla chiusa di centro un generico punto $b\in X$ e di raggio $r$ con le restrizioni poste nell'enunciato.
La restrizione di $f$ al bordo della palla è continua per ipotesi, quindi $f(S(b,r))$ è limitato.
Ora vorrei applicare il Teorema di Estensione di Tietze per trovare che $f$ è limitata su tutto $B[b,r]$. In questo modo (credo) dimostro che $f\in L^{\infty}_(loc)$.
Secondo voi, sto procedendo nel modo giusto? Il dubbio che mi è sorto è che, applicando Tietze, io posso trovare una estensione di $f$ su tutto $X$ non solo su $B[b,r]$, avendo quindi che $f$ sta in $L^{\infty}$.
Dove mi sto confondendo?!?!
Grazie
vorrei dimostrare la seguente proprietà:
"Sia data una funzione $f\in W^{1,p}(X,R^n)$ con $X\subset R^n$ aperto e limitato. Dato $b\in X$, supponiamo che $f$ ristretta a $S(b,r)$ (il bordo della palla $B(b,r)$) sia continua per quasi ogni $r\in (0,dist(b,\partial X))$ (dove con $\partial X$ indico la frontiera di $X$). [Supponiamo inoltre che per ogni $x\in B[b,r]$ il punto $f(x)$ ha grado topologico diverso da 0 o $f(x)\in f(S(b,r))$.] Allora $f$ sta in $L^{\infty}_(loc)$."
Nel dimostrarlo io considero una palla chiusa di centro un generico punto $b\in X$ e di raggio $r$ con le restrizioni poste nell'enunciato.
La restrizione di $f$ al bordo della palla è continua per ipotesi, quindi $f(S(b,r))$ è limitato.
Ora vorrei applicare il Teorema di Estensione di Tietze per trovare che $f$ è limitata su tutto $B[b,r]$. In questo modo (credo) dimostro che $f\in L^{\infty}_(loc)$.
Secondo voi, sto procedendo nel modo giusto? Il dubbio che mi è sorto è che, applicando Tietze, io posso trovare una estensione di $f$ su tutto $X$ non solo su $B[b,r]$, avendo quindi che $f$ sta in $L^{\infty}$.
Dove mi sto confondendo?!?!
Grazie
Risposte
Ma se per ipotesi $f(x) \in f(S_r(b))$ per ogni $x\in B_r(b)$, e $f(S_r(b))$ è limitato sempre per ipotesi, questo ti dice già che $f$ è limitata in $B_r(b)$.
Se così è, non ho capito il problema...
Se così è, non ho capito il problema...
No, infatti non è sempre così! 
Effettivamente non mi sono espresso bene, chiedo scusa! Vediamo se così è più chiaro:
$f(x)\in \{y\in R^n\setminus f(\partial B(b,r))| deg(y,f,B(b,r))\ne 0\}\cup f(\partial B(b,r))$ per ogni $x\in B[b,r]$
Il mio problema (assumendo che il percorso della mia dimostrazione sia corretto) è che arrivo a dimostrare che la funzione è $L^{\infty}$, e non solo localmente. Il che mi fa pensare di aver sbagliato qualcosa.
La bozza di dimostrazione che ho fatto è questa:
$f_(|S(b,r))$ è continua; in particolare si ha che $f(S(b,r))$ è limitato. Esistono quindi $C_1,\cdots,C_n$ chiusi di $\R$ tali $f(S(b,r))\subseteq C=C_1\times\cdots\times C_n$.
Consideriamo ora le componenti $(f_(|S(b,r)))_j$, con $j\in\{1,\cdots,n\}$, di $f_(|S(b,r))$ e applichiamo ad esse il Teorema di Estensione di Tietze. Per ogni $j$ troviamo allora $f^e_j:\overline{B(b,r)}\to C_j$ estensione di $(f_(|S(b,r)))_j$ (cioè tale che $f^e_j=f^*_j$ su $S(b,r)$). Prendiamo
$f^e=(u^e_1,\cdots,u^e_n):\overline{B(b,r)}\to C,$
abbiamo così che l'estesione $f^e$ di $f_{|S(b,r)}$ è limitata in $\overline{B(b,r)}$.
Poi non so bene come concludere e se posso concludere
Effettivamente non mi sono espresso bene, chiedo scusa! Vediamo se così è più chiaro:
$f(x)\in \{y\in R^n\setminus f(\partial B(b,r))| deg(y,f,B(b,r))\ne 0\}\cup f(\partial B(b,r))$ per ogni $x\in B[b,r]$
Il mio problema (assumendo che il percorso della mia dimostrazione sia corretto) è che arrivo a dimostrare che la funzione è $L^{\infty}$, e non solo localmente. Il che mi fa pensare di aver sbagliato qualcosa.
La bozza di dimostrazione che ho fatto è questa:
$f_(|S(b,r))$ è continua; in particolare si ha che $f(S(b,r))$ è limitato. Esistono quindi $C_1,\cdots,C_n$ chiusi di $\R$ tali $f(S(b,r))\subseteq C=C_1\times\cdots\times C_n$.
Consideriamo ora le componenti $(f_(|S(b,r)))_j$, con $j\in\{1,\cdots,n\}$, di $f_(|S(b,r))$ e applichiamo ad esse il Teorema di Estensione di Tietze. Per ogni $j$ troviamo allora $f^e_j:\overline{B(b,r)}\to C_j$ estensione di $(f_(|S(b,r)))_j$ (cioè tale che $f^e_j=f^*_j$ su $S(b,r)$). Prendiamo
$f^e=(u^e_1,\cdots,u^e_n):\overline{B(b,r)}\to C,$
abbiamo così che l'estesione $f^e$ di $f_{|S(b,r)}$ è limitata in $\overline{B(b,r)}$.
Poi non so bene come concludere e se posso concludere
Uhm. Adesso cerco di capire.
Comunque, nella tua dimostrazione non mi è chiaro a che ti serve sapere che $f|_{S_r(b)}$ ammette un'estensione limitata.
Questo non implica in nessun modo che $f$ stessa debba essere limitata.
PS: per curiosità, da dove salta fuori questo problema?
Comunque, nella tua dimostrazione non mi è chiaro a che ti serve sapere che $f|_{S_r(b)}$ ammette un'estensione limitata.
Questo non implica in nessun modo che $f$ stessa debba essere limitata.
PS: per curiosità, da dove salta fuori questo problema?
Credo, e sottolineo "credo", mi serva per dire che $f$ è localmente (essenzialmente) limitata.. io sto cercando un intorno di $b$ (e vorrei che questo fosse $B(b,r)$) per cui $f_(|B(b,r))\in L^{\infty}$. Allora sapendo che la restrizione al bordo è limitata, pensavo di estendere (tramite Tiezte) la funzione a tutta la palla ottenendo ancora una funzione limitata. boh.. 
Il problema mi è sorto nello studiare alcune proprietà del determinante jacobiano distribuzionale, definito da
$\Det\nabla f(g)=-\frac{1}{n}\int_X <\nabla g,(adj\nabla f)f> dx$,
dove $f\in W^{1,p}(X,\R^n)$ ($p>n-1$) e $g\in C^{\infty}_0(X,\R^n)$. Tale integrale è ben definito se $f\in W^{1,p}\cap L^{\infty}_(loc)$, ma in alcuni enunciati l'ipotesi $L^{\infty}_(loc)$ viene sostituita con quella proprietà sul grado topologico e sul bordo che ho messo nel primo post (e l'articolo che sto studiando dice che sono equivalenti).
Il problema mi è sorto nello studiare alcune proprietà del determinante jacobiano distribuzionale, definito da
$\Det\nabla f(g)=-\frac{1}{n}\int_X <\nabla g,(adj\nabla f)f> dx$,
dove $f\in W^{1,p}(X,\R^n)$ ($p>n-1$) e $g\in C^{\infty}_0(X,\R^n)$. Tale integrale è ben definito se $f\in W^{1,p}\cap L^{\infty}_(loc)$, ma in alcuni enunciati l'ipotesi $L^{\infty}_(loc)$ viene sostituita con quella proprietà sul grado topologico e sul bordo che ho messo nel primo post (e l'articolo che sto studiando dice che sono equivalenti).
Ah, inizio a capire (ti eri dimenticato di dire che $p> n-1$).
Se vuoi approfondire ti consiglio il libro di Fonseca e Gangbo, "Degree Theory in Analysis and Applications".
Quello che ti serve dovrebbe stare attorno al cap. 5.
Se vuoi approfondire ti consiglio il libro di Fonseca e Gangbo, "Degree Theory in Analysis and Applications".
Quello che ti serve dovrebbe stare attorno al cap. 5.
Grazie mille! Lunedì in università darò un'occhiata allora!
Giusto per andare a dormire tranquillo (ihih), secondo te la mia dimostrazione ha (almeno in parte) senso oppure sono completamente fuori strada?
Sai, quando inizio a pensare ad una cosa non riesco a smettere di pensarci finchè non la risolvo
Sai, quando inizio a pensare ad una cosa non riesco a smettere di pensarci finchè non la risolvo
Come ti ho detto, questa cosa dell'estensione a me non convince affatto.
Ma magari è solo perché è un po' tardi e sono stanco
Ma magari è solo perché è un po' tardi e sono stanco
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