Linee di livello di una funzione a due variabili
Potete ricontrollarmi questo esercizio d'esame che ho fatto?
Ho la funzione
$f(x)={( (x-3)e^(-x),x>0),
(arctan(x), x<=0):}$
Devo rispondere alle seguenti domande sulla funzione $ G(x,y) = \int_0^(x^2 - y^2)f(t)dt$
1) Scrivere G mediante la funzione F definita da $ F(t) = \int_0^t f(s)ds$ e determinare per quali (x,y) appartenenti a R^2 posso applicare la regola della derivazione di funzioni composte.
2)Determinare le derivate parziali prime e seconde di G , dove è possibile, usando il punto precedente.
3) Dopo aver gustifcato il fatto che l'iperbole $x^2 - y^2 = 1 $ è una linea di livello per G, si calcoli il valore di G su tale linea, e si determini l'equazione del piano tangente al grafico di G nel punto P = ( -1 , 0 , G(-1,0))
Allora io mi sono fatta il mio bel studio di f(x) ottenendo una discontinuità di salto in 0 (con valore 1 da sinistra, e -3 da destra). Asintoto sinistro che tende a 0+ , idem asintoto destro. Si annulla per x=3.
Per quanto riguarda la F(X), diverge a -infinito, per x che tende a -infinito, in x=0 ha un punto angoloso, ha un minimo in x=3 , converge a un valore generico l per x che tende a +infinito.
Poi, posso scrivere $G(x,y) = F(a(x,y))= F(x^2 - y^2)$. Secondo la regola della catena , la derivata di questa funzione è uguale a
$ grad G(x,y) = F' (a(x,y)) * grad a(x,y)$ (dove con grad indico il gradiente).
Ottengo quindi 4 derivate parziali, due per x<0, due per x>0 , ma lo 0 è escluso in quanto non è derivabile !
I conti so di averli fatti giusti, però la prof mi ha corretto nei domini di entrambi i rami, imponendo per x<0 che $x^2 - y^2 <0 $ e che per x>0 sia $x^2 -y^2>0$ . Come mai?? Ho anche l'impressione che la risposta sia stupida, ma non ci arrivo ...
Secondo problema, non so come giustificare che l'iperbole è una linea di livello per G. E' perchè compare nell'esponente dell'integrale giusto? Come posso spiegarlo ?
E il resto del punto come lo svolgo?
Grazie mille per l'aiuto!
Ho la funzione
$f(x)={( (x-3)e^(-x),x>0),
(arctan(x), x<=0):}$
Devo rispondere alle seguenti domande sulla funzione $ G(x,y) = \int_0^(x^2 - y^2)f(t)dt$
1) Scrivere G mediante la funzione F definita da $ F(t) = \int_0^t f(s)ds$ e determinare per quali (x,y) appartenenti a R^2 posso applicare la regola della derivazione di funzioni composte.
2)Determinare le derivate parziali prime e seconde di G , dove è possibile, usando il punto precedente.
3) Dopo aver gustifcato il fatto che l'iperbole $x^2 - y^2 = 1 $ è una linea di livello per G, si calcoli il valore di G su tale linea, e si determini l'equazione del piano tangente al grafico di G nel punto P = ( -1 , 0 , G(-1,0))
Allora io mi sono fatta il mio bel studio di f(x) ottenendo una discontinuità di salto in 0 (con valore 1 da sinistra, e -3 da destra). Asintoto sinistro che tende a 0+ , idem asintoto destro. Si annulla per x=3.
Per quanto riguarda la F(X), diverge a -infinito, per x che tende a -infinito, in x=0 ha un punto angoloso, ha un minimo in x=3 , converge a un valore generico l per x che tende a +infinito.
Poi, posso scrivere $G(x,y) = F(a(x,y))= F(x^2 - y^2)$. Secondo la regola della catena , la derivata di questa funzione è uguale a
$ grad G(x,y) = F' (a(x,y)) * grad a(x,y)$ (dove con grad indico il gradiente).
Ottengo quindi 4 derivate parziali, due per x<0, due per x>0 , ma lo 0 è escluso in quanto non è derivabile !
I conti so di averli fatti giusti, però la prof mi ha corretto nei domini di entrambi i rami, imponendo per x<0 che $x^2 - y^2 <0 $ e che per x>0 sia $x^2 -y^2>0$ . Come mai?? Ho anche l'impressione che la risposta sia stupida, ma non ci arrivo ...
Secondo problema, non so come giustificare che l'iperbole è una linea di livello per G. E' perchè compare nell'esponente dell'integrale giusto? Come posso spiegarlo ?
E il resto del punto come lo svolgo?
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
Forse c'è un po' di confusione con le lettere per la $x$ che compare nella prima espressione non è la stessa che compare nell'integrale della seconda.
Perchè la funzione integranda cambia a seconda che $x>0$ oppure $x<0$.
Per cui non puoi fare una cosa unica, devi distinguere i 2 casi.
Una volta che $x^2-y^2="costante"$
l'integrale $\int_0^(x^2-y^2) f(t)\ dt$ diventa un integrale definito, quindi diventa un numero.
Cioè $\int_0^(x^2-y^2) f(t)\ dt = "costante"$ se $x^2-y^2="costante"$, quindi è una linea di livello.
però la prof mi ha corretto nei domini di entrambi i rami, imponendo per x<0 che e che per x>0 sia
. Come mai??
Perchè la funzione integranda cambia a seconda che $x>0$ oppure $x<0$.
Per cui non puoi fare una cosa unica, devi distinguere i 2 casi.
Secondo problema, non so come giustificare che l'iperbole è una linea di livello per G. E' perchè compare nell'esponente dell'integrale giusto? Come posso spiegarlo ?
Una volta che $x^2-y^2="costante"$
l'integrale $\int_0^(x^2-y^2) f(t)\ dt$ diventa un integrale definito, quindi diventa un numero.
Cioè $\int_0^(x^2-y^2) f(t)\ dt = "costante"$ se $x^2-y^2="costante"$, quindi è una linea di livello.
Si la cosa dei due casi di x<0 e x>'0 l'ho capita, ma non capisco perchè impone che anche l'iperbole abbia questa restrizione! Cosa c'entra?
Ok la cosa dell'integrale l'ho capita ... però l'integrale mi viene definito fra 0 e 1. Mentre il punto in cui si richiede la tangenza ha x negativo ... devo spezzare l'integrale per calcolarmi quel valore ? Cioè quando vado a calcolare le derivate parziali in (-1,0) , devo usare quelle calcolate per x<0 no ?
Ok la cosa dell'integrale l'ho capita ... però l'integrale mi viene definito fra 0 e 1. Mentre il punto in cui si richiede la tangenza ha x negativo ... devo spezzare l'integrale per calcolarmi quel valore ? Cioè quando vado a calcolare le derivate parziali in (-1,0) , devo usare quelle calcolate per x<0 no ?
Scolta me, devi cambiare la lettera della variabile della prima espressione, altrimenti si fa confusione.
Scrivila così:
$f(u)={( (u-3)e^(-u),u>0),
(arctan(u), u<=0):}$
Così adesso c'è chiarezza tra chi è $x$, chi è $t$, ecc.
A me non sembrea che hai le idee chiare al 100%
Fai quest'altro esercizio più semplice, così capisci. Ci vogliono 2 minuti se hai capito.
hai la funzione
$f(u)={(x^2, x \ge 0),(x, x<0):}$
calcola questi due integrali
$\int_0^2 f(t)dt $
e
$\int_(-3)^0 f(t)dt $
E' quello che ho spiegato prima.
Se $k=costante$, allora $\int_0^(k) f(t) dt= "costante"$.
E se $G(x,y)=k= "costante"$ i valori di $(x,y)$ tali per cui $G(x,y)=k$ sono una curva di livello di $G$.
E' la sua definizione. Una volta che hai capito il fatto dell'integrale definito che è un numero, una costante, è finita li.
Vedi che non hai capito ?
Perchè fai confusione tra la x dell'integranda e quella dell $G$.
Chi ha scritto l'esercizio forse l'ha fatto apposta per vedere se uno applica le regole meccanicamente o ci pensa su a quello che sta facendo.
Fai l'esercizio che ti ho suggerito.
Scrivila così:
$f(u)={( (u-3)e^(-u),u>0),
(arctan(u), u<=0):}$
Così adesso c'è chiarezza tra chi è $x$, chi è $t$, ecc.
Si la cosa dei due casi di x<0 e x>'0 l'ho capita, ma non capisco perchè impone che anche l'iperbole abbia questa restrizione! Cosa c'entra?
A me non sembrea che hai le idee chiare al 100%
Fai quest'altro esercizio più semplice, così capisci. Ci vogliono 2 minuti se hai capito.
hai la funzione
$f(u)={(x^2, x \ge 0),(x, x<0):}$
calcola questi due integrali
$\int_0^2 f(t)dt $
e
$\int_(-3)^0 f(t)dt $
Secondo problema, non so come giustificare che l'iperbole è una linea di livello per G. E' perchè compare nell'esponente dell'integrale giusto? Come posso spiegarlo ?
E' quello che ho spiegato prima.
Se $k=costante$, allora $\int_0^(k) f(t) dt= "costante"$.
E se $G(x,y)=k= "costante"$ i valori di $(x,y)$ tali per cui $G(x,y)=k$ sono una curva di livello di $G$.
E' la sua definizione. Una volta che hai capito il fatto dell'integrale definito che è un numero, una costante, è finita li.
Mentre il punto in cui si richiede la tangenza ha x negativo ... devo spezzare l'integrale per calcolarmi quel valore ? Cioè quando vado a calcolare le derivate parziali in (-1,0) , devo usare quelle calcolate per x<0 no ?
Vedi che non hai capito ?
Perchè fai confusione tra la x dell'integranda e quella dell $G$.
Chi ha scritto l'esercizio forse l'ha fatto apposta per vedere se uno applica le regole meccanicamente o ci pensa su a quello che sta facendo.
Fai l'esercizio che ti ho suggerito.
$\int_{2}^{0} x^2 dx$
$\int_{-3}^{0} x dx$
Quindi l'imposizione del segno di $x^2 - y^2$ è dovuto al fatto che mi riferisco a rami diversi no ?
Allora vediamo se ho capito. $ x^2 - y^2$ è una linea di livello per G, poichè questa espressione è uguale a uno. Quindi se vado a sostituire 1 al posto dell'espressione, nell'integrale, ottengo un integrale definito, quindi un numero e quindi una linea di livello.
Oddio , scusa sono una piattola ma mi sto confondendo
Quindi se il piano tangente è dato da $ G(-1,0) + Gx(-1,0)(x+1) + Gy(-1,0)(y-0) = 0 $ non ottengo questo?
$\int_{0}^{1} f(t) dt + (2x/(1 - x^2 + y^2))* (x+1) + (-2y/(1 - x^2 + y^2))(y-0) = 0$
dove le derivate parziali devono essere ancora valutate nel punto
$\int_{-3}^{0} x dx$
Quindi l'imposizione del segno di $x^2 - y^2$ è dovuto al fatto che mi riferisco a rami diversi no ?
Allora vediamo se ho capito. $ x^2 - y^2$ è una linea di livello per G, poichè questa espressione è uguale a uno. Quindi se vado a sostituire 1 al posto dell'espressione, nell'integrale, ottengo un integrale definito, quindi un numero e quindi una linea di livello.
Oddio , scusa sono una piattola ma mi sto confondendo
Quindi se il piano tangente è dato da $ G(-1,0) + Gx(-1,0)(x+1) + Gy(-1,0)(y-0) = 0 $ non ottengo questo?
$\int_{0}^{1} f(t) dt + (2x/(1 - x^2 + y^2))* (x+1) + (-2y/(1 - x^2 + y^2))(y-0) = 0$
dove le derivate parziali devono essere ancora valutate nel punto
"Yumina92":
$\int_{2}^{0} x^2 dx$
$\int_{-3}^{0} x dx$
Quindi l'imposizione del segno di $x^2 - y^2$ è dovuto al fatto che mi riferisco a rami diversi no ?
Allora vediamo se ho capito. $ x^2 - y^2$ è una linea di livello per G, poichè questa espressione è uguale a uno. Quindi se vado a sostituire 1 al posto dell'espressione, nell'integrale, ottengo un integrale definito, quindi un numero e quindi una linea di livello.
Ci siamo.
Anche se non va scritto che $x^2-y^2$ è una linea di livello per G.
Va scritto $x^2-y^2= "costante"$ è una linea di livello per G.
Oddio , scusa sono una piattola ma mi sto confondendo
Quindi se il piano tangente è dato da $ G(-1,0) + Gx(-1,0)(x+1) + Gy(-1,0)(y-0) = 0 $ non ottengo questo?
$\int_{0}^{1} f(t) dt + (2x/(1 - x^2 + y^2))* (x+1) + (-2y/(1 - x^2 + y^2))(y-0) = 0$
dove le derivate parziali devono essere ancora valutate nel punto
$ (2x/(1 - x^2 + y^2))$
Questa sarebbe la derivata parziale di $G$ rispetto a $x$ ? No.
Ok per la linea di livello ! 
Ehm direi di si, anche la prof me l'ha scritta a quella maniera.
Anche se ora mi hai fatto venire il dubbio .... non è che c'è un segno negativo davanti?
Ehm direi di si, anche la prof me l'ha scritta a quella maniera.
Anche se ora mi hai fatto venire il dubbio .... non è che c'è un segno negativo davanti?
No, non sono d'accordo.
se $G(x,y)=\int_0^(\mu(x,y))f(t)dt$
$G_x=f(\mu(x,y))\ \mu'(x,y) = (x^2-y^2-3)/(e^(x^2-y^2)) 2x$
Non ho idea del perchè la tua prof l'ha scritta così...
se $G(x,y)=\int_0^(\mu(x,y))f(t)dt$
$G_x=f(\mu(x,y))\ \mu'(x,y) = (x^2-y^2-3)/(e^(x^2-y^2)) 2x$
Non ho idea del perchè la tua prof l'ha scritta così...
Guarda a me sono venute così.
Per $x>0$ ho
$Gx = 2x* (x^2 - y^2 - 3) * e ^(-(x^2 -y^2))$
$Gy= -2y*(x^2 - y^2 -3)* e^(-(x^2 - y^2))$
Per $x<=0$ ho
$Gx= 2x/(1 - x^2 + y^2)$
$Gy = -2y/(1 - x^2 + y^2)$
Te ti sei riferito al ramo x>0 ... ma se ho il punto (-1, 0) non devo prendere l'altro ?
Per $x>0$ ho
$Gx = 2x* (x^2 - y^2 - 3) * e ^(-(x^2 -y^2))$
$Gy= -2y*(x^2 - y^2 -3)* e^(-(x^2 - y^2))$
Per $x<=0$ ho
$Gx= 2x/(1 - x^2 + y^2)$
$Gy = -2y/(1 - x^2 + y^2)$
Te ti sei riferito al ramo x>0 ... ma se ho il punto (-1, 0) non devo prendere l'altro ?
"Yumina92":
Guarda a me sono venute così.
Per $ x>0 $ ho
$ Gx = 2x* (x^2 - y^2 - 3) * e ^(-(x^2 -y^2)) $
$ Gy= -2y*(x^2 - y^2 -3)* e^(-(x^2 - y^2)) $
Per $ x<=0 $ ho
$ Gx= 2x/(1 - x^2 + y^2) $
$ Gy = -2y/(1 - x^2 + y^2) $
Allora queste vanno bene.
Ok dal disegno capisco meglio ...
Ma guarda che non è mica la derivata dell'arcotangente, non ci incastra nulla.
Per x<0 ho la funzione $f(u) = 1 /(1 -u )$ ... è vero viene una cosa simile all'arcotangente ma non c'entra niente.
Ma guarda che non è mica la derivata dell'arcotangente, non ci incastra nulla.
Per x<0 ho la funzione $f(u) = 1 /(1 -u )$ ... è vero viene una cosa simile all'arcotangente ma non c'entra niente.
E allora da dove viene fuori $1/(1-u)$ ?
Oddio scusami !! Chiedo umilmente venia, nella funzione di partenza $f(u)$ non è arcotangente, bensi $ 1/(1-u)$ per u<=0
Sorry -.-
Sorry -.-
Ok, allora va bene quello che avevi scritto prima, cioè $G_x, G_y$ nei due casi $u>0, u<0$
Scusami se rompo 
ma mi è venuto un altro dubbio.
Quando vado a calcolare le derivate parziali nel punto $(-1.0)$ , ho avuto un dubbio su che ramo di derivate parziali scegliere. Vedendo che la x è negativa, pensavo di scegliere appunto quelle che valevano per $u<0$, però poi ho pensato "non dovà valere anche la seconda condizione che abbiamo imposto nel fare le derivate parziali?"
Le condizioni del primo ramo erano , $ u>0$ e $x^2 - y^2 >0$
Del secondo erano $u<0$ e $x^2-y^2$
Quindi per calcolare $G(-1,0)$ quale ramo devo usare? Istintivamente avevo preso il secondo, per via della x negativa, poi però non varrebbe l'altra condizione ...
Il dubbio mi è venuto perchè in un esercizio praticamente identico, dove avevo la stessa identica funzione e $xy$ al posto di $x^2 - y^2$ , se calcolavo $Gx(-1,-1)$ e $Gy=(-1,-1)$ facendo riferimento all' $u<0$ mi venivano infinito ... invece riferendosi a $xy>0$ torna
ma mi è venuto un altro dubbio.Quando vado a calcolare le derivate parziali nel punto $(-1.0)$ , ho avuto un dubbio su che ramo di derivate parziali scegliere. Vedendo che la x è negativa, pensavo di scegliere appunto quelle che valevano per $u<0$, però poi ho pensato "non dovà valere anche la seconda condizione che abbiamo imposto nel fare le derivate parziali?"
Le condizioni del primo ramo erano , $ u>0$ e $x^2 - y^2 >0$
Del secondo erano $u<0$ e $x^2-y^2$
Quindi per calcolare $G(-1,0)$ quale ramo devo usare? Istintivamente avevo preso il secondo, per via della x negativa, poi però non varrebbe l'altra condizione ...
Il dubbio mi è venuto perchè in un esercizio praticamente identico, dove avevo la stessa identica funzione e $xy$ al posto di $x^2 - y^2$ , se calcolavo $Gx(-1,-1)$ e $Gy=(-1,-1)$ facendo riferimento all' $u<0$ mi venivano infinito ... invece riferendosi a $xy>0$ torna
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