Linee di livello
Vorrei trovare l'equazione delle linee di livello di questa funzione a due variabili:
$f(x,y) = (x^2)*( y)/(x^4 + y^2)$
La figura è questa:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... B+y%5E2%29
Quindi, da quel che ho capito, le linee di livello sono delle parabole. Ma devo dimostrarlo. Per trovarle, devo fare un sistema di questo tipo:
$z=f(x,y)$
$z=k$ con $k$ di $RR$
se pongo $z=1$ viene:
$(x^2)*( y)/(x^4 + y^2) = 1$
e quindi:
$(x^2)*( y) = x^4 + y^2$
come me ne esco?
Inoltre trovo un grande limite, nel disegnare in 3D le mie funzioni a due variabili, alcune sono quasi immediate (tipo: paraboloide, cono...) altre non lo sono per niente. Qualche consiglio utile?
Grazie.
$f(x,y) = (x^2)*( y)/(x^4 + y^2)$
La figura è questa:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... B+y%5E2%29
Quindi, da quel che ho capito, le linee di livello sono delle parabole. Ma devo dimostrarlo. Per trovarle, devo fare un sistema di questo tipo:
$z=f(x,y)$
$z=k$ con $k$ di $RR$
se pongo $z=1$ viene:
$(x^2)*( y)/(x^4 + y^2) = 1$
e quindi:
$(x^2)*( y) = x^4 + y^2$
come me ne esco?
Inoltre trovo un grande limite, nel disegnare in 3D le mie funzioni a due variabili, alcune sono quasi immediate (tipo: paraboloide, cono...) altre non lo sono per niente. Qualche consiglio utile?
Grazie.
Risposte
Per determinare le linee di livello, devi imporre che
${x^2 y}/{x^4+y^2}=k$ da cui $ky^2-x^2 y-kx^4=0$ (escludendo il punto $(0,0)$)
Se risolvi la precedente equazione rispetto a $y$ troverai
$y={x^2\pm\sqrt{x^4+4k^2 x^4}}/{2k}={x^2\pm x^2\sqrt{1+4k^2}}/{2k}={1\pm\sqrt{1+4k^2}}/{2k}\cdot x^2$
le quali risultano tutte parabole con vertice nell'origine e sono definite per qualsiasi valore di $k$.
Per quanto riguarda disegnare la funzione in $RR^3$: lascia perdere (a meno che tu non abbia una scheda grafica installata nel cervello)!
${x^2 y}/{x^4+y^2}=k$ da cui $ky^2-x^2 y-kx^4=0$ (escludendo il punto $(0,0)$)
Se risolvi la precedente equazione rispetto a $y$ troverai
$y={x^2\pm\sqrt{x^4+4k^2 x^4}}/{2k}={x^2\pm x^2\sqrt{1+4k^2}}/{2k}={1\pm\sqrt{1+4k^2}}/{2k}\cdot x^2$
le quali risultano tutte parabole con vertice nell'origine e sono definite per qualsiasi valore di $k$.
Per quanto riguarda disegnare la funzione in $RR^3$: lascia perdere (a meno che tu non abbia una scheda grafica installata nel cervello)!
Perfetto, mi stavo creando problemi nel trovare le soluzioni rispetto a $y$
Posso tuttavia, scrivere il risultato finale come: $y=m*x^2$ ? così posso utilizzarlo anche nella ricerca del limite, perchè è quadratica rispetto alla y?
Posso tuttavia, scrivere il risultato finale come: $y=m*x^2$ ? così posso utilizzarlo anche nella ricerca del limite, perchè è quadratica rispetto alla y?
Eh?????
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