Limte un po' complicato
$lim_(x->0^+)((2x^x-1)^(1/sqrtx)-1)/(sqrtxlnx)
$2x^x=e^(xln2x)
$(e^(xln2x)-1)^(1/sqrtx)=e^((ln(e^(xln2x)-1))/(sqrtx))
e perciò il limite diventa
$(e^((ln(e^(xln2x)-1)/(sqrtx)))-1)/(sqrtxlnx)$ per $x->0^+
ora $xln2x ->0$ perciò $e^(xln2x)=1+xln2x(1+o(1))
ed $ln(e^(xln2x)-1)=ln(xln2x(1+o(1)))
come si può proseguire?
$2x^x=e^(xln2x)
$(e^(xln2x)-1)^(1/sqrtx)=e^((ln(e^(xln2x)-1))/(sqrtx))
e perciò il limite diventa
$(e^((ln(e^(xln2x)-1)/(sqrtx)))-1)/(sqrtxlnx)$ per $x->0^+
ora $xln2x ->0$ perciò $e^(xln2x)=1+xln2x(1+o(1))
ed $ln(e^(xln2x)-1)=ln(xln2x(1+o(1)))
come si può proseguire?
Risposte
No, $2x^x=2e^(xlogx)$ e quindi il numeratore è:
$e^(1/sqrtx log(2e^(xlogx)-1))-1
Inoltre $2e^(xlogx)-1=1+2xlogx(1+o(1))$ per $x->0^+$
quindi l'esponente di $e$ diventa $1/sqrtx log(1+2xlogx(1+o(1)))=1/sqrtx (2xlogx(1+o(1))) =2sqrtxlogx(1+o(1))
ed $e^(2sqrtxlogx(1+o(1)) ) - 1 = 2sqrtxlogx(1+o(1))
e dunque $(2sqrtxlogx(1+o(1)))/(sqrtxlogx) -> 2$ per $x->0^+$.
$e^(1/sqrtx log(2e^(xlogx)-1))-1
Inoltre $2e^(xlogx)-1=1+2xlogx(1+o(1))$ per $x->0^+$
quindi l'esponente di $e$ diventa $1/sqrtx log(1+2xlogx(1+o(1)))=1/sqrtx (2xlogx(1+o(1))) =2sqrtxlogx(1+o(1))
ed $e^(2sqrtxlogx(1+o(1)) ) - 1 = 2sqrtxlogx(1+o(1))
e dunque $(2sqrtxlogx(1+o(1)))/(sqrtxlogx) -> 2$ per $x->0^+$.
grazie france
invece per il limite
$lim_(x->+oo)x^2(sqrt(2e^(1/x^2)-1)-cos(1/x))
si ha $sqrt(2e^(1/x^2)-1)=1+1/2(e^(1/x^2)-1)+o(e^(1/x^2)-1)=1+1/2(1/x^2(1+o(1)))+o(1/x^2(1+o(1)))=1+1/(2x^2)(1+o(1))
e si trova
$sqrt(2e^(1/x^2)-1)-cos(1/x)=1/(2x^2)(1+o(1))+1-cos(1/x)=1/(2x^2)(1+o(1))+1/(2x^2)(1+o(1))=1/(x^2)(1+o(1))
e il limite
$x^2(1/(x^2)(1+o(1)))=1+o(1) ->1$ per $x->+oo
ma il limite vale $3/2$ cosa ho sbagliato?
invece per il limite
$lim_(x->+oo)x^2(sqrt(2e^(1/x^2)-1)-cos(1/x))
si ha $sqrt(2e^(1/x^2)-1)=1+1/2(e^(1/x^2)-1)+o(e^(1/x^2)-1)=1+1/2(1/x^2(1+o(1)))+o(1/x^2(1+o(1)))=1+1/(2x^2)(1+o(1))
e si trova
$sqrt(2e^(1/x^2)-1)-cos(1/x)=1/(2x^2)(1+o(1))+1-cos(1/x)=1/(2x^2)(1+o(1))+1/(2x^2)(1+o(1))=1/(x^2)(1+o(1))
e il limite
$x^2(1/(x^2)(1+o(1)))=1+o(1) ->1$ per $x->+oo
ma il limite vale $3/2$ cosa ho sbagliato?
evidentemente
$sqrt(2e^(1/x^2)-1)!=1+1/2(e^(1/x^2)-1)+o(e^(1/x^2)-1)
$sqrt(2e^(1/x^2)-1)!=1+1/2(e^(1/x^2)-1)+o(e^(1/x^2)-1)
Infatti non è così... $(2e^(1/x^2)-1)^(1/2)=(e^(1/x^2)+e^(1/x^2)-1)^(1/2)
che non è il caso $(1+x)^a=1+ax+o(x)$, infatti
hai $e^(1/x^2)$ (che tende a 1 ma non è 1) e
la parte infinitesima che è $e^(1/x^2)-1$, e non puoi usare quel limite notevole.
Comincia a sviluppare $2e^(1/x^2)-1$ per $x->+oo$,
e poi forse potrai applicare il fatto che $(1+x)^a=1+ax+o(x)$...
che non è il caso $(1+x)^a=1+ax+o(x)$, infatti
hai $e^(1/x^2)$ (che tende a 1 ma non è 1) e
la parte infinitesima che è $e^(1/x^2)-1$, e non puoi usare quel limite notevole.
Comincia a sviluppare $2e^(1/x^2)-1$ per $x->+oo$,
e poi forse potrai applicare il fatto che $(1+x)^a=1+ax+o(x)$...
eccone un altro ancora più 'patologico':
$lim_(x->3)(e^(-1/(3-x)^2)+eroot{5}(4-3cos(x-3))-e^sqrt(4-x))/(root{4}(1-cos(x-3)))
pongo $x-3=y->0$ per $x->3$:
$lim_(y->0)(e^(-1/y^2)+eroot{5}(4-3cosy)-e^sqrt(1-y))/(root{4}(1-cosy))
e trovo solo che:
$root{5}(4-3cosy)=root{5}(1+3(1-cosy))=root{5}(1+3/2y^2(1+o(1)))=1+3/10y^2(1+o(1))$ per $y->0
ed $root{4}(1-cosy)=root{4}(1/2y^2(1+o(1)))=root{4}(1/2)sqrt|y|(1+o(1))$ perciò
$(e^(-1/y^2)+e(1+3/10y^2(1+o(1)))-e^sqrt(1-y))/(root{4}(1/2)sqrt|y|(1+o(1)))
e poi?
$lim_(x->3)(e^(-1/(3-x)^2)+eroot{5}(4-3cos(x-3))-e^sqrt(4-x))/(root{4}(1-cos(x-3)))
pongo $x-3=y->0$ per $x->3$:
$lim_(y->0)(e^(-1/y^2)+eroot{5}(4-3cosy)-e^sqrt(1-y))/(root{4}(1-cosy))
e trovo solo che:
$root{5}(4-3cosy)=root{5}(1+3(1-cosy))=root{5}(1+3/2y^2(1+o(1)))=1+3/10y^2(1+o(1))$ per $y->0
ed $root{4}(1-cosy)=root{4}(1/2y^2(1+o(1)))=root{4}(1/2)sqrt|y|(1+o(1))$ perciò
$(e^(-1/y^2)+e(1+3/10y^2(1+o(1)))-e^sqrt(1-y))/(root{4}(1/2)sqrt|y|(1+o(1)))
e poi?
E poi sviluppi $e^sqrt(1-y)$ per $y->0$
(chiaramente prima dovrai sviluppare $sqrt(1-y)$)
fino al secondo ordine e ottieni $e^sqrt(1-y)=e-ey/2+o(y^2)$
quindi il numeratore diventa:
$e^(-1/y^2) + ey/2 + 3e/10y^2 + o(y^2)
ma $e^(-1/y^2)$ è un infinitesimo di ordine
superiore a tutti e quindi il numeratore si può scrivere come: $ey/2 (1+o(1))$
quindi il tutto dovrebbe tendere a 0.
(chiaramente prima dovrai sviluppare $sqrt(1-y)$)
fino al secondo ordine e ottieni $e^sqrt(1-y)=e-ey/2+o(y^2)$
quindi il numeratore diventa:
$e^(-1/y^2) + ey/2 + 3e/10y^2 + o(y^2)
ma $e^(-1/y^2)$ è un infinitesimo di ordine
superiore a tutti e quindi il numeratore si può scrivere come: $ey/2 (1+o(1))$
quindi il tutto dovrebbe tendere a 0.
aspetta... non mi è molto chiaro.
per il numeratore abbiamo sì che $e^(-1/y^2)$ è un infinitesimo di ordine superiore a y^2. ma perchè mi butti via anche il $3/10ey^2$??
per il numeratore abbiamo sì che $e^(-1/y^2)$ è un infinitesimo di ordine superiore a y^2. ma perchè mi butti via anche il $3/10ey^2$??
Perché se hai una somma di infinitesimi,
quello che vince è quello che va più lentamente,
non vale lo stesso discorso che vale per gli infiniti.
quello che vince è quello che va più lentamente,
non vale lo stesso discorso che vale per gli infiniti.
non voglio mettere in dubbio quello che dici, ma questa per me è una cosa nuova.
allora che cosa l'hai messo a fare l'o piccolo??
cioè butto via $e^(-1/y^2)$ perchè è infinitesimo di ordine superiore a y^2, questo su indicazione dell'o piccolo. tu perche hai fatto così?
allora che cosa l'hai messo a fare l'o piccolo??
cioè butto via $e^(-1/y^2)$ perchè è infinitesimo di ordine superiore a y^2, questo su indicazione dell'o piccolo. tu perche hai fatto così?
Perché devi fare il limite del rapporto di quella
cosa con $root(4)(1/2) sqrt|y|$, quindi conviene
raccogliere il termine di grado 1, poi considerare
il limite destro e sinistro dato che c'e
un modulo, vedere che sono uguali e quindi il limite dato esiste e vale 0.
cosa con $root(4)(1/2) sqrt|y|$, quindi conviene
raccogliere il termine di grado 1, poi considerare
il limite destro e sinistro dato che c'e
un modulo, vedere che sono uguali e quindi il limite dato esiste e vale 0.
Un esempio... Come fai a calcolare
$lim_(x->0) (x^5+x^4+x^3+x^2+10x)/x$ ?
Raccogli x al numeratore e hai
$lim_(x->0) (10+x+x^2+x^3+x^4) = 10
Io ho fatto la stessa cosa.
$lim_(x->0) (x^5+x^4+x^3+x^2+10x)/x$ ?
Raccogli x al numeratore e hai
$lim_(x->0) (10+x+x^2+x^3+x^4) = 10
Io ho fatto la stessa cosa.
grazie!
Per sicurezza vedi l'esempio che ti ho fatto sopra...
Ma almeno è corretto 0 come risultato? Dimmi almeno questo...
Ma almeno è corretto 0 come risultato? Dimmi almeno questo...
te l'ho detto. ci stavamo rincorrendo tra un argomento e l'altro!
è naturalmente corretto!!
è naturalmente corretto!!
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