Limiti+infinitesimi
ciao a tutti ragazzi!
qualcuno di voi saprebbe spiegarmi in parole povere la differenza tra "o piccoli" e "O grandi"?
se poi ci fosse qualcuno che ha compreso in maniera chiara e semplice "o piccolo" in particolare(tipo PRATICAMENTE come lo si può vedere,ho capito che c'entra qulcosa la velocità con cui 2 funzioni tendono a zero??),gli sarei grata se me lo spiegasse.Io ho capito che svolgere i limiti con i polinomi di taylor o mc laurin e quindi con gli o piccoli è più facile a volte,vorrei quindi capire come si ragiona!
Tipo:
$lim (sen(4/x))/(root[2](3+x^2)-root[2](x^2+1))$ per x che tende a + infinito
-per il numeratore il libro pone:
$4/x$ tende a zero per x che tende a più infinito
$y=4/x$
$(seny)/y$ tende a 1 per y che tende a zero (perchè y tende a zero?????)
$(seny)/(y)=1+o(1)$ QUI nn capisco:è qualcosa di predefinito?che significa o(1)????
allora
$seny=y(1+o(1))$
quindi
$sen4/x = (4/x)(1+o(1))$
-per il denominatore la situazione è un pò più chiara:scompongo considerando che $(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)$
perchè ad esempio: $(1+(3/(x^2)))$ è pari a $1+o(1)$ per x che tende a più infinito
grazie a tutti in igni caso!
qualcuno di voi saprebbe spiegarmi in parole povere la differenza tra "o piccoli" e "O grandi"?
se poi ci fosse qualcuno che ha compreso in maniera chiara e semplice "o piccolo" in particolare(tipo PRATICAMENTE come lo si può vedere,ho capito che c'entra qulcosa la velocità con cui 2 funzioni tendono a zero??),gli sarei grata se me lo spiegasse.Io ho capito che svolgere i limiti con i polinomi di taylor o mc laurin e quindi con gli o piccoli è più facile a volte,vorrei quindi capire come si ragiona!
Tipo:
$lim (sen(4/x))/(root[2](3+x^2)-root[2](x^2+1))$ per x che tende a + infinito
-per il numeratore il libro pone:
$4/x$ tende a zero per x che tende a più infinito
$y=4/x$
$(seny)/y$ tende a 1 per y che tende a zero (perchè y tende a zero?????)
$(seny)/(y)=1+o(1)$ QUI nn capisco:è qualcosa di predefinito?che significa o(1)????
allora
$seny=y(1+o(1))$
quindi
$sen4/x = (4/x)(1+o(1))$
-per il denominatore la situazione è un pò più chiara:scompongo considerando che $(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)$
perchè ad esempio: $(1+(3/(x^2)))$ è pari a $1+o(1)$ per x che tende a più infinito
grazie a tutti in igni caso!
Risposte
ti posto la definizione di Gianni Gilardi, alla faccia del copyright,
Se $f$ e $g$ sono definite su un intorno di $p$, diciamo che $f$ è un o-piccolo di $g$ per $x$ tendente a $p$, e si scrive
$f(x)=o(g(x))$ per x tendente a p
se esiste una funzione $q$ definita sullo stesso intorno di $p$ tale che
$f(x)=g(x)q(x)$ per ogni $x$ nell'intorno e
$lim_{x\rightarrow p} q(x)=0$
Se $f$ e $g$ sono definite su un intorno di $p$, diciamo che $f$ è un o-piccolo di $g$ per $x$ tendente a $p$, e si scrive
$f(x)=o(g(x))$ per x tendente a p
se esiste una funzione $q$ definita sullo stesso intorno di $p$ tale che
$f(x)=g(x)q(x)$ per ogni $x$ nell'intorno e
$lim_{x\rightarrow p} q(x)=0$
ciao!grazie per l'informazione!
cmq,quello che nn riesco a capire è perchè facendo la sostituzione di passa da $lim_(x to +00)$ a $lim_(y to 0)$ perchè zero?
e poi
$(seny)/y=1+o(1)$
se avessi avuto come risultato ad esempio per assurdo x,dovevo scrivere: $x+o(x)$ ?
non so se mi sono spiegata.....
$(1)/x^2 _(x to +oo)$ tende a zero.ok?
allora si scrive che è un o(1)????
ho questo dubbio perchè nel denominatore della frazione ad un certo punto compare:
$(2)/root[2](x^2(1+(3/x^2))+.....$
$=(2)/ (|x|(root[2](1+o(1))+...)$
hai forse capito dove mi confondo?
cmq,quello che nn riesco a capire è perchè facendo la sostituzione di passa da $lim_(x to +00)$ a $lim_(y to 0)$ perchè zero?
e poi
$(seny)/y=1+o(1)$
se avessi avuto come risultato ad esempio per assurdo x,dovevo scrivere: $x+o(x)$ ?
non so se mi sono spiegata.....
$(1)/x^2 _(x to +oo)$ tende a zero.ok?
allora si scrive che è un o(1)????
ho questo dubbio perchè nel denominatore della frazione ad un certo punto compare:
$(2)/root[2](x^2(1+(3/x^2))+.....$
$=(2)/ (|x|(root[2](1+o(1))+...)$
hai forse capito dove mi confondo?
ciao!
mi fa piacere sapere che nn sono l'unica che soffre x questo argomento!
Cmq,io ho trovato un pò di algebra dell'0 piccolo,negli appunti del mio prof che segue il libro"elementi di analisi matematica-di Dal Passo e Bertsch-Aracne"
e :
$o(x^n)+o(x^m)=o(x^min(n,m))$
.......
alla fine guarda un pò che c'è:
$x+o(x)=x(1+o(1))$
quindi penso che sia solo una semplificazione!
cmq,devo riflettere un pò su quello che scrivi,ora però ti devo lasciare perchè vado a letto,domani mi aspetta una dura giornata di lavoro.Non appena torno però mi metterò a riflettere su quell'esercizio,sono + di 2 gg che nn riesco a risolverlo!
ciao e grazie!
mi fa piacere sapere che nn sono l'unica che soffre x questo argomento!
Cmq,io ho trovato un pò di algebra dell'0 piccolo,negli appunti del mio prof che segue il libro"elementi di analisi matematica-di Dal Passo e Bertsch-Aracne"
e :
$o(x^n)+o(x^m)=o(x^min(n,m))$
.......
alla fine guarda un pò che c'è:
$x+o(x)=x(1+o(1))$
quindi penso che sia solo una semplificazione!
cmq,devo riflettere un pò su quello che scrivi,ora però ti devo lasciare perchè vado a letto,domani mi aspetta una dura giornata di lavoro.Non appena torno però mi metterò a riflettere su quell'esercizio,sono + di 2 gg che nn riesco a risolverlo!
ciao e grazie!
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