Limiti Teorema del confronto....
Salve ho questo esercizio :
$ lim_(n -> +oo) (3+sin n)/n $
per risolverlo con il t. del confronto :
$ 2/n leq (3+sin n)/n leq 4/n $
e quindi ottengo $0$,
ma come si è ottenuto $2/n e 4/n$?
grazie
$ lim_(n -> +oo) (3+sin n)/n $
per risolverlo con il t. del confronto :
$ 2/n leq (3+sin n)/n leq 4/n $
e quindi ottengo $0$,
ma come si è ottenuto $2/n e 4/n$?
grazie
Risposte
Sai che [tex]-1\le \sin n\le 1 \quad\forall n\in \mathbb{N}[/tex]
Prova ad aggiungere membro a membro il numero 3, cosa ottieni?
Una volta fatto questo, dividi membro a membro per [tex]n>0[/tex], cosa scopri?
Prova ad aggiungere membro a membro il numero 3, cosa ottieni?
Una volta fatto questo, dividi membro a membro per [tex]n>0[/tex], cosa scopri?
a okok ma perchè devo aggiungere membro a membro 3?
Perchè se guardi il numeratore della tua successione, hai due addendi, uno è [tex]3[/tex], l'altro è [tex]\sin n[/tex].
Da [tex]-1\le \sin n\le 1[/tex] come fai ad ottenere [tex]3+\sin n[/tex] nel membro centrale? Semplice aggiungi [tex]3[/tex] a tutt'e tre i membri di [tex]-1\le \sin n\le 1[/tex]. E' un po' più chiaro?
Da [tex]-1\le \sin n\le 1[/tex] come fai ad ottenere [tex]3+\sin n[/tex] nel membro centrale? Semplice aggiungi [tex]3[/tex] a tutt'e tre i membri di [tex]-1\le \sin n\le 1[/tex]. E' un po' più chiaro?
ho $lim_(n ->+oo)[3^n-(sqrt(n))^n]$
$3^n-(sqrt(n)^n)leq 3^n[1-(sqrt(n)/3)^n]leq 3^n[1-(4/3)^n]$
non riesco a capire questo passaggio...
$3^n[1-(4/3)^n]$
mi potreste aiutare per favore?
$3^n-(sqrt(n)^n)leq 3^n[1-(sqrt(n)/3)^n]leq 3^n[1-(4/3)^n]$
non riesco a capire questo passaggio...
$3^n[1-(4/3)^n]$
mi potreste aiutare per favore?
Sì che ti posso aiutare, ma .... hai capito il precedente esercizio?
Ad ogni modo la questione qui è un po' più delicata, perchè deriva da una disuguaglianza nota:
Sia [tex]a>1[/tex]
[tex]a^n\le n^n[/tex] definitivamente, cioè da un certo [tex]n[/tex] in poi la disuguaglianza diventa vera.
La conosci?
Ad ogni modo la questione qui è un po' più delicata, perchè deriva da una disuguaglianza nota:
Sia [tex]a>1[/tex]
[tex]a^n\le n^n[/tex] definitivamente, cioè da un certo [tex]n[/tex] in poi la disuguaglianza diventa vera.
La conosci?
si l'esercizio di prima l'ho capito, ma questo no. io uso la terza parte del teorema del confronto "$a_n leq c_n leq b_n $" con $a_n,b_n $ che hanno stesso limite $a$ e $c_n$ converge ad $a$.
ma proprio quella parte non la comprendo...
ma proprio quella parte non la comprendo...
Devo essere sincero, mi viene difficile da spiegartelo se non conosci le disuguaglianze fondamentali.
La questione è così,
Poichè [tex]4^n\le {(\sqrt{n})}^n[/tex] definitivamente (da un certo numero naturale in poi) si ha che [tex]$- {(\sqrt{n})}^n\le -4^n[/tex] definitivamente. Dividendo ambo i membri per [tex]3^n[/tex] si ha che [tex]$- \frac{{(\sqrt{n})}^n}{3^n}\le -\frac{4^n}{3^n}[/tex] definitivamente. Aggiunngendo membro a membro 1 scopriamo che:
[tex]$1- \left(\frac{{\sqrt{n}}}{3}\right)^n\le 1 -\left(\frac{4}{3}\right)^n[/tex], definitivamente
moltiplicando infine membro a membro per [tex]3^n[/tex] abbiamo:
[tex]$3^n\left(1- \left(\frac{{\sqrt{n}}}{3}\right)^n\right)\le 3^n \left(1 -\left(\frac{4}{3}\right)^n\right)[/tex]. Mi rendo conto che può sembrare una cosa abominevole, ma ti prego di assimilare questo tipo di ragionamento che spesso aiuta.
Il tutto sta nel ricordare che [tex]4^n\le (\sqrt{n})^n[/tex] definitivamente.
La questione è così,
Poichè [tex]4^n\le {(\sqrt{n})}^n[/tex] definitivamente (da un certo numero naturale in poi) si ha che [tex]$- {(\sqrt{n})}^n\le -4^n[/tex] definitivamente. Dividendo ambo i membri per [tex]3^n[/tex] si ha che [tex]$- \frac{{(\sqrt{n})}^n}{3^n}\le -\frac{4^n}{3^n}[/tex] definitivamente. Aggiunngendo membro a membro 1 scopriamo che:
[tex]$1- \left(\frac{{\sqrt{n}}}{3}\right)^n\le 1 -\left(\frac{4}{3}\right)^n[/tex], definitivamente
moltiplicando infine membro a membro per [tex]3^n[/tex] abbiamo:
[tex]$3^n\left(1- \left(\frac{{\sqrt{n}}}{3}\right)^n\right)\le 3^n \left(1 -\left(\frac{4}{3}\right)^n\right)[/tex]. Mi rendo conto che può sembrare una cosa abominevole, ma ti prego di assimilare questo tipo di ragionamento che spesso aiuta.
Il tutto sta nel ricordare che [tex]4^n\le (\sqrt{n})^n[/tex] definitivamente.
mmmmm....a primo impatto non l'avevo capito , ma rileggendolo lo sto capendo....
grazie mille "Mathematico"
grazie mille "Mathematico"
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