Limiti sulle restrizioni

[Sk_Anonymous]

Sia $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione per $A$. Allora
\[\lim_{x \to x_0}f(x)=l \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0}f_{| B}(x)=l \quad \forall B \subseteq A\]
La dimostrazione di $\Rightarrow$ è semplice, perché se vale $\forall x \in A$ allora vale $\forall x \in B$.
Non ho però capito la dimostrazione dell'altro verso. La prof disse che basta osservare che può essere $B=A$. Perché? In che modo?
Grazie a tutti.

[Sk_Anonymous]

Per comodità, riscrivo l'implicazione che non ti convince:

\[\lim_{x \to x_0}f_{| B}(x)=l \quad \forall B \subseteq A\Rightarrow \lim_{x \to x_0}f(x)=l \]

Nell'ipotesi hai:

\[\forall B \subseteq A\]

Quindi, se prendi:

\[B=A\]

hai la stessa definizione valida per:

\[\lim_{x \to x_0}f(x)=l \]

[Sk_Anonymous]

"speculor":Per comodità, riscrivo l'implicazione che non ti convince:

\[\lim_{x \to x_0}f_{| B}(x)=l \quad \forall B \subseteq A\Rightarrow \lim_{x \to x_0}f(x)=l \]

Nell'ipotesi hai:

\[\forall B \subseteq A\]

Quindi, se prendi:

\[B=A\]

hai la stessa definizione valida per:

\[\lim_{x \to x_0}f(x)=l \]

Era così semplice?
In effetti, se vale per ogni sottoinsieme di $A$, vale anche per se stesso...
Grazie mille!