Limiti senza ausilio di De L'Hopital
Buonasera a tutti, facevo un po' di esercizi sui limiti finché non ne ho trovato due un po' rognosi che non riesco a risolvere!
Ve li presento:
$\lim_{x \to \infty} ((x^2+1)^(1/3))/(x+1)$
$\lim_{x \to \0^+} (x^(2/3)+x^(3/4))/((x^(1/3))-(2x^2)^(1/3))$
Premetto come da titolo che non si deve usare De L'Hopital!
Ve li presento:
$\lim_{x \to \infty} ((x^2+1)^(1/3))/(x+1)$
$\lim_{x \to \0^+} (x^(2/3)+x^(3/4))/((x^(1/3))-(2x^2)^(1/3))$
Premetto come da titolo che non si deve usare De L'Hopital!
Risposte
$\lim_{x \to \infty} ((x^2+1)^(1/3))/(x^2)^(1/3) = \lim_{x \to \infty} ((x^2+1)/x^2)^(1/3) = \lim_{x \to \infty} (1 + 1/x^2)^(1/3) = 1$
Significa che $(x^2+1)^(1/3)$ e $(x^2)^(1/3)$ sono infiniti dello stesso ordine. Ti viene in mente qualcosa?
Puoi fare lo stesso ragionamento con $x + 1$ e $x$.
Significa che $(x^2+1)^(1/3)$ e $(x^2)^(1/3)$ sono infiniti dello stesso ordine. Ti viene in mente qualcosa?
Puoi fare lo stesso ragionamento con $x + 1$ e $x$.
Perdonami ma non ho capito perché al denominatore ti viene $(x^2)^(1/3)$
"obnubilated":
Perdonami ma non ho capito perché al denominatore ti viene $(x^2)^(1/3)$
Non sto calcolando il limite. Stavo solo facendo delle considerazioni sull'andamento di $(x^2)^(1/3)$ e di $(x^2 + 1)^(1/3)$. Per $x -> +oo$ hanno un andamento quasi indistinguibile e questo ti suggerisce che puoi "sostituire" - nel tuo limite di partenza - il numeratore con $(x^2)^(1/3)$.
Al denominatore hai $x + 1$ che per $x -> +oo$ si comporta come $x$. Stessa cosa: sostituisci a $x + 1$ una funzione più comoda, cioè $x$.
Il tuo limite diventa il seguente $lim_(x -> +oo) ((x^2)^(1/3))/x$ , che devi saper calcolare in un baleno.
Si, fin li riuscivo ad arrivarci, però ho un dubbio: qua devo considerare la velocità del numeratore e denominatore, presumo, per cui $x^(2/3)$ è più lenta di $x$, per cui il limite è uguale a 0?
"obnubilated":
Si, fin li riuscivo ad arrivarci, però ho un dubbio: qua devo considerare la velocità del numeratore e denominatore, presumo, per cui $x^(2/3)$ è più lenta di $x$, per cui il limite è uguale a 0?
Non basta semplicemente applicare la proprietà delle potenze e sottrarre gli esponenti?
Giusto! Per cui avrei $1/(root(3)(x))$ e quindi 0!
Per il secondo limite essendo tendente a $0^+$ posso fare lo stesso ragionamento? Ovvero considero solamente gli esponenti più grandi e poi calcolo il limite?
Per il secondo limite essendo tendente a $0^+$ posso fare lo stesso ragionamento? Ovvero considero solamente gli esponenti più grandi e poi calcolo il limite?
"obnubilated":
Giusto! Per cui avrei $1/(root(3)(x))$ e quindi 0!
Per il secondo limite essendo tendente a $0^+$ posso fare lo stesso ragionamento? Ovvero considero solamente gli esponenti più grandi e poi calcolo il limite?
No. Le funzioni sono infinitesime. Per esempio la funzione $f(x) = x + x^3 + x^200$, per $x -> 0$ , va a $0$ come $x$. Funziona esattamente al contrario.
Nota che tutte queste conclusioni andrebbero ben giustificate con una teoria degli infiniti e degli infinitesimi. Non puoi semplicemente immaginare che una funzione corra, per esempio, a zero più velocemente di un'altra (espressione che non ha un significato matematico, tra l'altro).
"Seneca":
No. Le funzioni sono infinitesime. Per esempio la funzione $f(x) = x + x^3 + x^200$, per $x -> 0$ , va a $0$ come $x$.
Per inciso questo risulta dal fatto che: $lim_(x -> 0) (x + x^3 + x^200)/x = lim_(x -> 0) 1 + x^2 + x^199 = 1$
Si ho capito tutto, ti ringrazio per la tua disponibilità.
Ti do pienamente ragione sull'espressione senza significato in campo matematico, ma molto spesso ho visto persone "immaginare" una gara tra le funzioni per quali arrivano prima a valori infiniti e quindi vedendone la semplicità ne ho preso spunto, tutto qui
Ti ringrazio ancora.
Ti do pienamente ragione sull'espressione senza significato in campo matematico, ma molto spesso ho visto persone "immaginare" una gara tra le funzioni per quali arrivano prima a valori infiniti e quindi vedendone la semplicità ne ho preso spunto, tutto qui
Ti ringrazio ancora.
Posto ancora perché mi è sorto un dubbio!
Quando mi capitano i casi in cui il limite tende ad $x_0$ con $x_0 in R$ allora semplicemente applico la definizione di limite, ma se questo mi da una forma indeterminata come mi comporto? Ho provato a raccogliere il massimo grado ed il minor grado ma mi restituisce sempre una forma indeterminata.
Faccio un esempio:
$lim_(x -> 1) (root(3)(x)-1)/(x-1)$
Applicando la definizione di limite ho: $0/0$.
Raccogliendo ho comunque una forma del tipo $0/0$.
Come risolvo il limite?
Come so se è impossibile determinarne un risultato?
Quando mi capitano i casi in cui il limite tende ad $x_0$ con $x_0 in R$ allora semplicemente applico la definizione di limite, ma se questo mi da una forma indeterminata come mi comporto? Ho provato a raccogliere il massimo grado ed il minor grado ma mi restituisce sempre una forma indeterminata.
Faccio un esempio:
$lim_(x -> 1) (root(3)(x)-1)/(x-1)$
Applicando la definizione di limite ho: $0/0$.
Raccogliendo ho comunque una forma del tipo $0/0$.
Come risolvo il limite?
Come so se è impossibile determinarne un risultato?
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