Limiti problematici
Ciao a tutti.
Facendo qualche esercizio preparatorio, ho incontrato alcune difficoltà con alcuni limiti.
Per esempio questo:
$lim_(x->oo)(log(2x+2)-arctan(\sqrtx)-log(2))$
La mia idea era quella di risolverlo usando gli sviluppi di Taylor (ho tentato con un'approssimazione di primo ordine di $log(y+1)$ e $arctan(y)$). Tuttavia temo di non essere arrivato da nessuna parte... soprattutto ho avuto grande difficoltà nella gestione del resto di Peano.
Infatti quello che mi esce è:
$lim_(x->oo)(2x+1-\sqrtx-log2+o(x))$
Ma dubito che sia corretto...
Qualcuno mi saprebbe gentilmente indirizzare sulla via giusta?
Facendo qualche esercizio preparatorio, ho incontrato alcune difficoltà con alcuni limiti.
Per esempio questo:
$lim_(x->oo)(log(2x+2)-arctan(\sqrtx)-log(2))$
La mia idea era quella di risolverlo usando gli sviluppi di Taylor (ho tentato con un'approssimazione di primo ordine di $log(y+1)$ e $arctan(y)$). Tuttavia temo di non essere arrivato da nessuna parte... soprattutto ho avuto grande difficoltà nella gestione del resto di Peano.
Infatti quello che mi esce è:
$lim_(x->oo)(2x+1-\sqrtx-log2+o(x))$
Ma dubito che sia corretto...
Qualcuno mi saprebbe gentilmente indirizzare sulla via giusta?
Risposte
Beh, prima di sviluppare il logaritmo noterei che:
\[
\log (2x+2)=\log [2(x+1)]=\log 2+ \log (x+1)
\]
quindi...
\[
\log (2x+2)=\log [2(x+1)]=\log 2+ \log (x+1)
\]
quindi...
Ciao,e benvenuto pure a te:
quel limite non è una forma indeterminata(con abuso di linguaggio direi che $oo-pi/2-log2=cdots$),
e metterci gli ordini d'infinito o infinitesimo nel mezzo è dunque forse un pò troppo..
Saluti dal web.
P.S.Quanti quanti nuovi arrivi,oggi:
buone notizie per il Belpaese,o sono ancora troppo ingenuo?
E' la domandina della buona notte,naturalmente..
quel limite non è una forma indeterminata(con abuso di linguaggio direi che $oo-pi/2-log2=cdots$),
e metterci gli ordini d'infinito o infinitesimo nel mezzo è dunque forse un pò troppo..
Saluti dal web.
P.S.Quanti quanti nuovi arrivi,oggi:
buone notizie per il Belpaese,o sono ancora troppo ingenuo?
E' la domandina della buona notte,naturalmente..
A volte mi chiedo dove ho la testa... adesso è tutto chiaro 
!
Se non abuso troppo della vostra pazienza, volevo discutere la risoluzione di altri limiti dubbi...
Per esempio ho tentato di risolvere questo:
$lim_(x->0)(6sin(x^2) - x^2(6-x^3)]/x^10$
Sia la prof che Derive mi dicono che dovrebbe uscire $-oo$, invece a me esce $+oo$
...
Questo è il ragionamento che ho fatto:
$lim_(x->0)(6sin(x^2) - x^2(6-x^3)]/x^10$ $=$ $lim_(x->0)(6sin(x^2) - 6x^2 + x^5)/x^10$
Sguinzagliando per esempio lo sviluppo di Eulero-MacLaurin della $f(y)=siny$, eseguo un'approssimazione del primo ordine. Quindi $6sin(x^2)\sim6x^2+o(x^2)$. Andando a sostituire il tutto nel limite, mi esce:
$lim_(x->0)(x^5+o(x^2))/x^10$
E non mi pare che tale limite sia uguale a $-oo$...
Ho provato a seguire altre vie, ma arrivo sempre allo stesso punto O_o.
!Se non abuso troppo della vostra pazienza, volevo discutere la risoluzione di altri limiti dubbi...
Per esempio ho tentato di risolvere questo:
$lim_(x->0)(6sin(x^2) - x^2(6-x^3)]/x^10$
Sia la prof che Derive mi dicono che dovrebbe uscire $-oo$, invece a me esce $+oo$
... Questo è il ragionamento che ho fatto:
$lim_(x->0)(6sin(x^2) - x^2(6-x^3)]/x^10$ $=$ $lim_(x->0)(6sin(x^2) - 6x^2 + x^5)/x^10$
Sguinzagliando per esempio lo sviluppo di Eulero-MacLaurin della $f(y)=siny$, eseguo un'approssimazione del primo ordine. Quindi $6sin(x^2)\sim6x^2+o(x^2)$. Andando a sostituire il tutto nel limite, mi esce:
$lim_(x->0)(x^5+o(x^2))/x^10$
E non mi pare che tale limite sia uguale a $-oo$...
Ho provato a seguire altre vie, ma arrivo sempre allo stesso punto O_o.
c'è un modo molto più pratico dividi tutto per x^2, e sfruttando il lim notevole sinx/x ti togli la prima parte, per il resto basta farei prodotti....ciao
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