Limiti (problema di sostituzione f. asintotiche)
Salve,
ho qualche problema nel capire questo svolgimento di questo esercizio( un avvertenza del testo su come non deve essere svolto l'esercizio):
$ lim_(x->0) frac{(1+x^3)^(frac{1}{sin^2(x)})-1}{sh(x)}= lim_(x->0) frac{e^(frac{1}{sin^2(x)} ln(1+x^3))-1}{x}=lim_(x->0) frac{e^(frac{1}{x^2}x^3)-1}{x}=1$
il testo dice che" anche se in questo caso porta al medesimo risultato ( ma non è sempre cosi) non è corretto perché si sostituiscono funzioni asintotiche nell'argomento di una funzione( e questo è scorretto)
che a sua volta è funzione addendo (e questo è ulteriormente errato)"
e questo mi fa un po' di confusione: cioè non potrei utilizzare l'asintoticità di $sin(x)$ con $x$ e scrivere per esempio $lim_(x->0) ln(1+sin(x))=lim_(x->0) ln(1+x)$ perché lo sto sostituendo nell'argomento della funzione??
ma le formule di Mac Laurin li sostituiamo sempre nell'argomento no?
seconda domanda:
come fa essere giusto questo passaggio( tratto dallo svolgimento giusto del libro) dato che: funzioni asintotiche si possono sostituire solo se si trovano da sole e NON come un addendo:
$lim_(x->0) frac{3x^2sin(x)-2(1+x^3) cos(x) ln(1+x^3)}{sin^3(x)}= lim_(x->0) frac{3x^3+o(x^3)-2x^3+o(x^3)}{x^3+o(x^3)}$
in al numeratore hanno "di fatto" sostituito $x$ con $sin x$(visto che poi le o_Piccolo vengono trascurate) anche se è un addendo e NON si trova da solo, mentre al denominatore la cosa mi sembra lecita perché $sen^3(x)$ si trova da solo quindi si rimpiazza con un facile $x^3$
in questo esempio applicando in modo sbagliato la sostituzione si arriva ad un risultato scorretto
$lim_(x->0)frac{tg x cos x-sin x}{x^3}=(cos x$~$1)=lim_(x->0)frac{tg x -sin x}{x^3}=1/2 $risultato chiaramente sbagliato.
vorrei avere idee chiare quando è possibile sostituire senza sbagliare,
spero mi possiate aiutare, grazie in anticipo
ho qualche problema nel capire questo svolgimento di questo esercizio( un avvertenza del testo su come non deve essere svolto l'esercizio):
$ lim_(x->0) frac{(1+x^3)^(frac{1}{sin^2(x)})-1}{sh(x)}= lim_(x->0) frac{e^(frac{1}{sin^2(x)} ln(1+x^3))-1}{x}=lim_(x->0) frac{e^(frac{1}{x^2}x^3)-1}{x}=1$
il testo dice che" anche se in questo caso porta al medesimo risultato ( ma non è sempre cosi) non è corretto perché si sostituiscono funzioni asintotiche nell'argomento di una funzione( e questo è scorretto)
che a sua volta è funzione addendo (e questo è ulteriormente errato)"
e questo mi fa un po' di confusione: cioè non potrei utilizzare l'asintoticità di $sin(x)$ con $x$ e scrivere per esempio $lim_(x->0) ln(1+sin(x))=lim_(x->0) ln(1+x)$ perché lo sto sostituendo nell'argomento della funzione??
ma le formule di Mac Laurin li sostituiamo sempre nell'argomento no?
seconda domanda:
come fa essere giusto questo passaggio( tratto dallo svolgimento giusto del libro) dato che: funzioni asintotiche si possono sostituire solo se si trovano da sole e NON come un addendo:
$lim_(x->0) frac{3x^2sin(x)-2(1+x^3) cos(x) ln(1+x^3)}{sin^3(x)}= lim_(x->0) frac{3x^3+o(x^3)-2x^3+o(x^3)}{x^3+o(x^3)}$
in al numeratore hanno "di fatto" sostituito $x$ con $sin x$(visto che poi le o_Piccolo vengono trascurate) anche se è un addendo e NON si trova da solo, mentre al denominatore la cosa mi sembra lecita perché $sen^3(x)$ si trova da solo quindi si rimpiazza con un facile $x^3$
in questo esempio applicando in modo sbagliato la sostituzione si arriva ad un risultato scorretto
$lim_(x->0)frac{tg x cos x-sin x}{x^3}=(cos x$~$1)=lim_(x->0)frac{tg x -sin x}{x^3}=1/2 $risultato chiaramente sbagliato.
vorrei avere idee chiare quando è possibile sostituire senza sbagliare,
spero mi possiate aiutare, grazie in anticipo
Risposte
in presenza di somme e differenze puoi sostituire utilizzando gli sviluppi di Taylor o Mac Laurin arrestati ad un ordine superiore al primo, sarebbe sbagliata la sostituzione con i normali asintotici di primo ordine.
nel tuo esempio siccome c'è $o(x^3)$ la sostituzione è lecita
nel tuo esempio siccome c'è $o(x^3)$ la sostituzione è lecita
grazie!
allora nel mio esempio $lim_(x->0) ln(1+sinx)=lim_(x->0) ln(1+x-(x^3)/6+o(x^3))= lim_(x->0) ln(1+x)=0$ ok?
(l'ultimo limite è banale si vede ad occhio che $tgxcosx-sinx=sinx-sinx=0$ ma voglio capire bene la sostituzione..)
arrestandomi ad un ordine maggiore del primo riesco, effettivamente,ad arrivare al risultato giusto!
$lim_(x->0) (tgxcosx-sinx)/x^3=$ $lim_(x->0) ((x+x^3/3)(1-x^2/2+o(x^2))-x+x^3/6)/x^3 = 0$
ma questo lo avrei potuto fare anche il tutto fosse l'argomento di una funzione giusto????
se per esempio fosse
1) $lim_(x->0^+)ln( (tgxcosx-sinx)/x^3)=ln(lim_(x->0) ((x+x^3/3)(1-x^2/2+o(x^2))-x+x^3/6)/(x^3))$ è lecito?
2) $lim_(x->0^+)[ln( (tgxcosx-sinx)/x^3)-g(x)]=ln(lim_(x->0) ((x+x^3/3)(1-x^2/2+o(x^2))-x+x^3/6)/(x^3))-lim_(x->0^+) g(x)$ è lecito?
allora nel mio esempio $lim_(x->0) ln(1+sinx)=lim_(x->0) ln(1+x-(x^3)/6+o(x^3))= lim_(x->0) ln(1+x)=0$ ok?
(l'ultimo limite è banale si vede ad occhio che $tgxcosx-sinx=sinx-sinx=0$ ma voglio capire bene la sostituzione..)
arrestandomi ad un ordine maggiore del primo riesco, effettivamente,ad arrivare al risultato giusto!
$lim_(x->0) (tgxcosx-sinx)/x^3=$ $lim_(x->0) ((x+x^3/3)(1-x^2/2+o(x^2))-x+x^3/6)/x^3 = 0$
ma questo lo avrei potuto fare anche il tutto fosse l'argomento di una funzione giusto????
se per esempio fosse
1) $lim_(x->0^+)ln( (tgxcosx-sinx)/x^3)=ln(lim_(x->0) ((x+x^3/3)(1-x^2/2+o(x^2))-x+x^3/6)/(x^3))$ è lecito?
2) $lim_(x->0^+)[ln( (tgxcosx-sinx)/x^3)-g(x)]=ln(lim_(x->0) ((x+x^3/3)(1-x^2/2+o(x^2))-x+x^3/6)/(x^3))-lim_(x->0^+) g(x)$ è lecito?
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