Limiti più variabili in forma polare

[ezio1400]

Nello studio di questi limiti ho notato che si usano spesso le coordinate polari. Negli esercizi vedo che una volta riscritta la funzione con queste coordinate bisogna trovare il limite per $ rho -> 0 $ maggiorando con qualcosa che non includi $theta$.
Vorrei capire il perchè , magari anche con una spiegazione oltre che formale soprattutto intuitiva. Grazie

[ale_80]

Un limite in più variabili per esistere deve essere il medesimo rispetto a tutte le infinite direzione di avvicinamento al punto di accumulazione scelto per calcolarlo.
Si cerca allora una formula maggiorante la funzione che sia in una sola variabile: la variabile scelta è rho che (in coordinate polari) indica la distanza di punto dal punto x_0 , cioè che descrive l'ampiezza di un intorno a 360° attorno centrato in x_0.
La funzione maggiorante è scelta infinitesima per x (vettore) che tende al p.to di accumulazione (vettore) del limite:

lim f(x) x-> x_0 <= p(x) con p(x) infinitesima per x -> x_0

questo perchè dalla def. di limite e dal teo. del confronto avremmo definitivamente provato che il limite cercato, per x_>x_0, è l dato che:

|f(x)-l| <=0 (a secondo membro p(0) ->0)

Se la funzione maggiorante dovesse invece dipendere pure da theta allora avremmo che il limite varierebbe in base all'angolo di avvicinamento... e quindi esso non potrebbe essere lo stesso per ogni direzione e quindi non esisterebbe!

[ezio1400]

"al3xg":
Si cerca allora una formula maggiorante la funzione che sia in una sola variabile:

Questo però non vale se non utilizzo le coordinate polari però...giusto?

[ale_80]

dovrebbe essere così proprio per il fatto che rho sta ad indicare la distanza dall'origine presa come p.to di accumulazione.

[ezio1400]

ok, si ho capito. Sei stato chiaro, grazie per l'aiuto