Limiti notevoli vs Taylor

[TesTes1]

ciao a tutti! scusate per il titolo un po' folcloristico, ma sto "litigando" con le tecniche sopra citate. Veniamo al dunque:

dato il limite $ lim_(x -> 0) 1/x^2 - 1/(xsenx) $

Utilizzando lo sviluppo di Taylor di senx centrato in 0 il risultato viene -1/6. (Ho controllato il risultato anche con software di calcolo simbolico)

Fin qui tutto bene, finchè non mi è venuta l'idea di applicare il limite notevole $ lim_(x -> 0) (sen(x))/x =1 $ modificando così il limite originario:

$ lim_(x -> 0) (1/x^2)- ( 1/x * 1/((sen(x))/x)* 1/x)= lim_(x -> 0) 1/x^2 -1/x^2 = 0 $

I due risultati ovviamente non mi coincidono, probabilmente ho commesso qualche errore madornale, ma non riesco proprio a capire dove...
Mi rendo conto che nel limite finale ho una forma indeterminata + infinito -infinito ,ma i termini si semplificano essendo opposti.

Nella remota ipotesi che le mie considerazioni siano corrette, la differenza dei risultati può essere dovuta all'approssimazione introdotta dal polinomio di Taylor?

Come avrete notato sono un po' confuso, mi rimetto alla vostra infinita saggezza

[Seneca1]

"TesTes":
I due risultati ovviamente non mi coincidono, probabilmente ho commesso qualche errore madornale, ma non riesco proprio a capire dove...
Mi rendo conto che nel limite finale ho una forma indeterminata + infinito -infinito ,ma i termini si semplificano essendo opposti.

Nella remota ipotesi che le mie considerazioni siano corrette, la differenza dei risultati può essere dovuta all'approssimazione introdotta dal polinomio di Taylor?

No, no... Escluso.

$ lim_(x -> 0) 1/x^2 - 1/(xsenx) $


$ lim_(x -> 0) (1/x^2)- ( 1/x * 1/((sen(x))/x)* 1/x)$ fin qua è tutto lecito.

I problemi cominciano quando scrivi: $lim_(x -> 0) 1/x^2 -1/x^2 = 0 $

Significa che hai portato al limite solo il pezzo di funzione che faceva comodo a te.

Credo che tu stia usando in maniera scorretta il teorema che dice che il limite di una somma è uguale alla somma dei limiti. Hai una forma indeterminata $[+oo - oo]$, non puoi maneggiare i due infiniti nel modo che hai fatto tu. Se mi viene in mente un esempio più lampante della questione, te lo proporrò..

[TesTes1]

Ti ringrazio per la risposta velocissima, non sono sicuro di aver capito benissimo dov'è il problema, provo a riepilogare:

$ lim_(x -> 0) (1/x^2)- ( 1/x * 1/((sen(x))/x)* 1/x) $ equivale a: $ lim_(x -> 0) (1/x^2)- lim_(x -> 0)( 1/x * 1/((sen(x))/x)* 1/x) $

Quindi essendo che il secondo limite tende ad infinito non posso scrivere $ lim_(x -> 0) (1/x^2)- ( 1/x^2) $

ma potrei scrivere $ lim_(x -> 0) (1/x^2)- lim_(x -> 0)( 1/(x^2)) $ mi rendo conto che rimane la forma indeterminata quindi riscriverlo così non serve a un emerito tubo, ma è giusto per capire. Ho centrato l'errore?

se invece il limite fosse stato $ lim_(x -> 0) (1/x^2)*( 1/x * 1/((sen(x))/x)* 1/x)= lim_(x -> 0) (1/x^4) = +oo $ l'applicazione del limite notevole sarebbe stata lecita, giusto?

Grazie mille per l'aiuto!

[robbstark1]

Hai quasi centrato il problema, comunque provo a evidenziarlo meglio. Il fatto è che non puoi applicare il limite prima a una sola parte della funzione e poi a tutta. Infatti fai sparire il $(senx)/x$ sostituendolo con il risultato del limite, ma lo lasci dentro un limite contenente ancora la $x$. In moltissimi casi fortunati funziona, ma di fatto è un errore. Se vuoi calcolare il limite notevole potresti fare così:
$...=lim_{x->0} (1/(x^2)) -(lim_{x->0} (1/(x^2)))/(lim_{x->0} (senx)/x)=+infty-infty$ che è indeterminato.
Se il limite fosse stato fatto da tutti prodotti, potevi scomporlo nel prodotto dei limiti, e non viene indeterminato.

[TesTes1]

Sei stato chiarissimo, grazie mille.
Effettivamente i molti casi in cui funzionava mi hanno un po' fuorviato temo.

[pater46]

Per completezza... Noi sappiamo che $sin(x)=x-x^3/3!+o(x^4) = x -x^3/6 + o(x^4)$. ( Sviluppo centrato in 0 )

Si ha allora $ sinx/x = 1 - x^2/6+o(x^4) $, dunque per x infinitesimo:

$lim_{x -> 0} 1/x^2 - 1/(xsinx) = lim_{x -> 0} 1/x^2 - 1/x^2 \cdot ( 1 - x^2/6+o(x^4) ) = lim_{x->0} 1/x^2 - 1/x^2 + x^2/(6x^2) - o(x^4)/x^2 = 1/6 $

Avrei potuto sviluppare direttamente $1/(xsinx)$ ma ho fatto così per farti notare che in realtà il limite noto non approssima sufficientemente il rapporto. Invece con questa approssimazione migliore riusciamo a determinare il vero comportamento della nostra funzione.

[TesTes1]

E' molto interessante la tecnica che hai utilizzato, sinceramente non ci avevo pensato. Solo un appunto, sei sicuro sia lecita?

Ti spiego l'origine del mio dubbio:
Portando i 2 membri a fattore comune e sostituendo senx con il polinomio di taylor il risultato mi viene $ -1/6 $. Ho provato anche con de l'hopital e ottengo sempre $ -1/6 $. Non ho notato errori di segno nel tuo sviluppo però sono un po' stanco potrei anche sbagliarmi.


Comunque ancora grazie siete un prezioso aiuto

[pater46]

Ho provato a vedere graricamente la funzione con derive e a $+oo$ tende a $1/6$.

Stai attento al fatto che nello sviluppo hai $-x^3/(3!)$ e quando devi andare a sostituire hai un'altro $-$ davanti a $1/(xsinx)$