Limiti notevoli e disequazione logaritmica

[allessandrom]

ciao, vorrei chiedervi una mano nel risolvere questi due quesiti.
6. {α ∈ R : lim x→+∞ [sin(1 x)−ln(1 + 1 x)]x^α = 0} coincide con
a. ∅;
b. ]−∞,1[;
c. ]−∞,2[;
d. ]−∞,3[.
ho utilizzato una sostituzione ponendo (1/x)=t, in questo modo t->0 e ho poi utilizzato il limite notevole del seno e del logaritmo naturale diminuendo il grado dell'1/t alla fine, così:
[(sint-ln(1+t)/t]1/t^(a-1)=0 da cui poi arrivo a [1-1]1/t^(a-1)=0
e di conseguenza, sostituendo 0 a t, ad una forma indeterminata qualunque sia il valore di a, non riesco a trovare la soluzione.(la risposta esatta dovrebbe essere la c, è tratto dall' esercizario del mio prof)

il secondo problema è il seguente:
8. L’equazione ln(x)−x2 = α, con α ∈ R, ha almeno una soluzione in R+ se e solo se
a. α ≤ ln(2)+1 2 ;
b. α ≤−ln(2)+1 2 ;
c. α < −ln(2)+1 2 ;
d. ha almeno una soluzione qualunque sia α ∈ R
qui non so da dove iniziare. grazie

[anto_zoolander]

ciao e benvenut*!

intanto ti consiglio di leggerti questo per una piacevole convivenza

per caso il limite è $lim_(x->+infty)*x^(alpha)(sin(1/x)-ln(1+1/x))$?

per il secondo esercizio definisci la funzione $f(x)=ln(x)-x^2-alpha$
ti do un input; la funzione è inferiormente illimitata e ammette un massimo assoluto
cerca di capire come sfruttare il teorema di esistenza degli zeri.

[allessandrom]

"anto_zoolander":
per caso il limite è $lim_(x->+infty)*x^(alpha)(sin(1/x)-ln(1+1/x))$?

per il secondo esercizio definisci la funzione $f(x)=ln(x)-x^2-alpha$
ti do un input; la funzione è inferiormente illimitata e ammette un massimo assoluto
cerca di capire come sfruttare il teorema di esistenza degli zeri.

Grazie, si è quello il limite! Ho riprovato stamattina a mente fresca ma non ci sono riuscito