Limiti (Nicola Fusco)
Ciao ragazzi, ho scaricato la dispensa di Nicola Fusco per esercitarmi sui vari argomenti di Analisi I.
Stavo facendo dei limiti, molti dei quali ho risolto facilmente.
Adesso però ho qualche dubbio su due di questi:
1)
$ lim_(x -> 0) 1/x*[((1-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)-1)) ^(1/3) - 1] $
2)
$ lim_(x -> 0) ((1+sen^2x)/(1-x))^(1/(tgx) $
Premetto che conosco i limiti notevoli (altrimenti non avrei potuto risolvere gli altri limiti proposti dal prof), ma cercando di ricavarmeli mi blocco ad un certo punto.
Non scrivo i procedimenti perché sono abbastanza lunghi, quindi mi riduco ad una formulazione un po' spartana.
Per quanto riguarda il primo limite, risolvo la parentesi quadra applicando il limite notevole, ottenendo 1/3, e mi rimane ciò:
$ lim_(x -> 0) 1/3 * ((2-sqrt(1-x)+sqrt(1+x))/(sqrt(1+x)-1)) $
ed ho problemi a risolvere il resto, o meglio, mi trovo che fa infinito, ma il risultato se non sbaglio è 1/6.
Per il secondo limite ho un problema più generale, direi d'impostazione, poiché vorrei usare il limite notevole:
$ lim_(x -> 0) (1+x)^(1/x)$
Vi ringrazio anticipatamente per il supporto.
A presto ^^
Stavo facendo dei limiti, molti dei quali ho risolto facilmente.
Adesso però ho qualche dubbio su due di questi:
1)
$ lim_(x -> 0) 1/x*[((1-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)-1)) ^(1/3) - 1] $
2)
$ lim_(x -> 0) ((1+sen^2x)/(1-x))^(1/(tgx) $
Premetto che conosco i limiti notevoli (altrimenti non avrei potuto risolvere gli altri limiti proposti dal prof), ma cercando di ricavarmeli mi blocco ad un certo punto.
Non scrivo i procedimenti perché sono abbastanza lunghi, quindi mi riduco ad una formulazione un po' spartana.
Per quanto riguarda il primo limite, risolvo la parentesi quadra applicando il limite notevole, ottenendo 1/3, e mi rimane ciò:
$ lim_(x -> 0) 1/3 * ((2-sqrt(1-x)+sqrt(1+x))/(sqrt(1+x)-1)) $
ed ho problemi a risolvere il resto, o meglio, mi trovo che fa infinito, ma il risultato se non sbaglio è 1/6.
Per il secondo limite ho un problema più generale, direi d'impostazione, poiché vorrei usare il limite notevole:
$ lim_(x -> 0) (1+x)^(1/x)$
Vi ringrazio anticipatamente per il supporto.
A presto ^^
Risposte
$1/x*[((1-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)-1)) ^(1/3) - 1] = 1/x*[((1+sqrt(1+x))/(sqrt(1-x)+1)) ^(1/3) - 1] $ perche' ho razionalizz sopra e sotto
$= 1/x*[((1+sqrt(1+x)+sqrt(1-x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) ^(1/3) - 1] =1/x*[(1+(sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) ^(1/3) - 1]$
$=1/x*[(1+(sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) ^(1/3) - 1]*(((sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) /((sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) )$
$=((sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) /x\quad*[(1+(sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) ^(1/3) - 1]/((sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)+1)) $
per limite notevole il secondo fattore tende a $1/3$
Continua tu e prova a trovare il limite del primo fattore e finire l'esercizio
$= 1/x*[((1+sqrt(1+x)+sqrt(1-x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) ^(1/3) - 1] =1/x*[(1+(sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) ^(1/3) - 1]$
$=1/x*[(1+(sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) ^(1/3) - 1]*(((sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) /((sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) )$
$=((sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) /x\quad*[(1+(sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1-x)+1)) ^(1/3) - 1]/((sqrt(1+x)-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)+1)) $
per limite notevole il secondo fattore tende a $1/3$
Continua tu e prova a trovare il limite del primo fattore e finire l'esercizio
Il secondo lo lascio fare a qualcun altro
Se poi stasera nessuno ti ha risposto allora ti rispondero'
Se poi stasera nessuno ti ha risposto allora ti rispondero'
"Wilde":
Se poi stasera nessuno ti ha risposto allora ti rispondero'
Grazie Wilde, io invece di razionalizzare ho aggiunto e sottratto alcuni elementi al numeratore in modo da avere la forma $ (1+x)^(alpha)-1 $
Ti ricordo che il limite notevole è
$ ((1+x)^(alpha)-1)/x $
Quindi è giusto moltiplicare e dividere per la quantità rappresentata da x, ma questa non dovrà essere elevato ad $alpha$.
In ogni caso, mi trovo, grazie mille.
Sperando che qualcuno intervenga per aiutarmi sul secondo limite, ti ringrazio di cuore.
Si si ovvio...ho corretto
Usando gli asintotici $sinx~x$, ed $tanx~x $, il limite si può riscrivere nella forma:
$lim_(x->0)((1+x^2)/(1-x))^(1/x) $ $ =lim(1/(1-x) )^(1/x)$ $=lim((1-x+x)/(1-x))^(1/x) $ $=lim ((1-x)/(1-x)+x/(1-x))^(1/x) $ $lim (1+x/(1-x))^(1/x) $ $=lim ((1+x/(1-x))^((1-x)/x))^(1/(1-x)) $ $=e^((1/(1-0))=e^1=e $
$lim_(x->0)((1+x^2)/(1-x))^(1/x) $ $ =lim(1/(1-x) )^(1/x)$ $=lim((1-x+x)/(1-x))^(1/x) $ $=lim ((1-x)/(1-x)+x/(1-x))^(1/x) $ $lim (1+x/(1-x))^(1/x) $ $=lim ((1+x/(1-x))^((1-x)/x))^(1/(1-x)) $ $=e^((1/(1-0))=e^1=e $
"francicko":
Usando gli asintotici
Ciao francicko, purtroppo lo svolgimento che mi hai proposto non è in linea con le linee guida che la prof vuole che usiamo.
Lo svolgimento dovrebbe prevedere la "costruzione" del limite notevole attraverso operazioni elementari sulle funzioni presenti.
Cancellato.
$lim_(x->0)((x+sin^2 (x))/(1-x))^(1/tanx) $ $=lim_(x->0)((1-x)/(1-x)+(x+sin^2(x))/(1-x))^(1/tanx) $ $=lim(1+(x+x^2sin^2 (x)/x^2)/(1-x))^(1/tanx) $ $=lim(1+x)^((1/x)×(x/tanx)) $ $=lim ((1+x)^(1/x))^(x/tanx) $ $=e^1=e $ essendo i seguenti noti limiti notevoli $ lim_(x->0)sin^2(x)/x^2=1$ $lim_(x->0)(1+x)^(1/x)=e $, ed $ lim_(x->0)x/tanx=1$
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