Limiti nel campo complesso
salve,
mi sto esercitando per il compito di metodi matematici, nell'esercizio dove è richiesto di risolvere l'integrale nel campo complesso, una volta calcolati i poli quando vado a calcolare i residui ho delle difficoltà su un determinato tipo di limiti.
$lim_(z->1)((sin^2(piz))/(z^3(z^3-1)(e^(jpiz)+1)^2) (z-1))$ qui devo calcolare il residuo in $1$ che è un polo del primo ordine
$lim_(z->pi/2)((1-sin(z))/((2z-pi)^2(e^(2jz)+1)) (z-pi/2))$ qui devo calcolare il residuo in $pi/2$ che è un polo del primo ordine
$lim_(z->pij)((1-cos(z))/((1+e^(z))z^3) (z-pij))$ qui devo calcolarmi il residuo in $pij$ polo del primo ordine
questi tipi di limiti non so come calcolarli, ne ho altri ma più o meno sono sulla falsa riga di questi.
Ho provato a calcolarli con de hopital, ma vengono calcoli lunghi in cui mi perdo, ma lo stesso non riesco a risolverli. Ora non so se devo scriverli in maniera opportuna e poi magari usare de hopital, oppure se è possibile applicare limiti notevoli.
Spero che possiate darmi qualche spiegazione poichè nel compito di metodi escono al 90 percento da calcolare residui simili
Grazie.
mi sto esercitando per il compito di metodi matematici, nell'esercizio dove è richiesto di risolvere l'integrale nel campo complesso, una volta calcolati i poli quando vado a calcolare i residui ho delle difficoltà su un determinato tipo di limiti.
$lim_(z->1)((sin^2(piz))/(z^3(z^3-1)(e^(jpiz)+1)^2) (z-1))$ qui devo calcolare il residuo in $1$ che è un polo del primo ordine
$lim_(z->pi/2)((1-sin(z))/((2z-pi)^2(e^(2jz)+1)) (z-pi/2))$ qui devo calcolare il residuo in $pi/2$ che è un polo del primo ordine
$lim_(z->pij)((1-cos(z))/((1+e^(z))z^3) (z-pij))$ qui devo calcolarmi il residuo in $pij$ polo del primo ordine
questi tipi di limiti non so come calcolarli, ne ho altri ma più o meno sono sulla falsa riga di questi.
Ho provato a calcolarli con de hopital, ma vengono calcoli lunghi in cui mi perdo, ma lo stesso non riesco a risolverli. Ora non so se devo scriverli in maniera opportuna e poi magari usare de hopital, oppure se è possibile applicare limiti notevoli.
Spero che possiate darmi qualche spiegazione poichè nel compito di metodi escono al 90 percento da calcolare residui simili
Grazie.
Risposte
I limiti si calcolano così come hai fatto nel campo reale.
Anche in \(\mathbb{C}\) valgono i limiti notevoli, quindi usali; fai cambiamenti di variabile, se servono a ricondurti a limiti notevoli; e non dimenticarti di semplificare, quando puoi (ad esempio nel primo si vede "a occhio nudo" che puoi semplificare).
Anche in \(\mathbb{C}\) valgono i limiti notevoli, quindi usali; fai cambiamenti di variabile, se servono a ricondurti a limiti notevoli; e non dimenticarti di semplificare, quando puoi (ad esempio nel primo si vede "a occhio nudo" che puoi semplificare).
il primo ho cercato di fare così:
semplifico ed ottengo $lim_(z->1)((sin^2(piz))/(z^3(z^2+z+1)(e^(jpiz)+1)^2))$ poi proseguo
$lim_(z->1)((sin^2(piz))/(piz)^2) * lim_(z->1)((4pi^2)/(z(z^2+z+1)(e^(jpiz)+1)^2))$ il primo è un limite notevole e fa $1$ il secondo ho problemi al denominatore con $(e^(jpiz)+1)^2$ che per $z->1$ va a zero, come potrei risolvere tale problema?
invece per il seguente limite ho fatto:
$lim_(z->pij)(1-cos(z))/(z^3(1+e^(z)))(z-pij)$
$lim_(z->pij)(1-cos(z))/(z^2) * lim_(z->pij)(z-pij)/(z(1+e^(z)))$ il primo è un limite notevole e vale $1/2$ il secondo applico de hopital e diventa $lim_(z->pij)(1/((e^z+1)+ze^z))= -1/(pij)$ quindi il limite vale $-1/(2pij)$
una domanda:
su un appunto ho trovato che il $lim_(z->pi/2)(1-sinz)/(z-pi/2)^2=1/2$ e si risolve con limite notevole sapresti dirmi a quale limite notevole si riconduce? grazie
semplifico ed ottengo $lim_(z->1)((sin^2(piz))/(z^3(z^2+z+1)(e^(jpiz)+1)^2))$ poi proseguo
$lim_(z->1)((sin^2(piz))/(piz)^2) * lim_(z->1)((4pi^2)/(z(z^2+z+1)(e^(jpiz)+1)^2))$ il primo è un limite notevole e fa $1$ il secondo ho problemi al denominatore con $(e^(jpiz)+1)^2$ che per $z->1$ va a zero, come potrei risolvere tale problema?
invece per il seguente limite ho fatto:
$lim_(z->pij)(1-cos(z))/(z^3(1+e^(z)))(z-pij)$
$lim_(z->pij)(1-cos(z))/(z^2) * lim_(z->pij)(z-pij)/(z(1+e^(z)))$ il primo è un limite notevole e vale $1/2$ il secondo applico de hopital e diventa $lim_(z->pij)(1/((e^z+1)+ze^z))= -1/(pij)$ quindi il limite vale $-1/(2pij)$
una domanda:
su un appunto ho trovato che il $lim_(z->pi/2)(1-sinz)/(z-pi/2)^2=1/2$ e si risolve con limite notevole sapresti dirmi a quale limite notevole si riconduce? grazie
"endurance":
il primo ho cercato di fare così:
semplifico ed ottengo $lim_(z->1)((sin^2(piz))/(z^3(z^2+z+1)(e^(jpiz)+1)^2))$ poi proseguo
$lim_(z->1)((sin^2(piz))/(piz)^2) * lim_(z->1)((4pi^2)/(z(z^2+z+1)(e^(jpiz)+1)^2))$ il primo è un limite notevole e fa $1$ il secondo ho problemi al denominatore con $(e^(jpiz)+1)^2$ che per $z->1$ va a zero, come potrei risolvere tale problema?
Prova a fare un cambiamento di variabile, e.g. \(w=z-1\).
"endurance":
invece per il seguente limite ho fatto:
$lim_(z->pij)(1-cos(z))/(z^3(1+e^(z)))(z-pij)$
$lim_(z->pij)(1-cos(z))/(z^2) * lim_(z->pij)(z-pij)/(z(1+e^(z)))$ il primo è un limite notevole e vale $1/2$ il secondo applico de hopital e diventa $lim_(z->pij)(1/((e^z+1)+ze^z))= -1/(pij)$ quindi il limite vale $-1/(2pij)$
una domanda:
su un appunto ho trovato che il $lim_(z->pi/2)(1-sinz)/(z-pi/2)^2=1/2$ e si risolve con limite notevole sapresti dirmi a quale limite notevole si riconduce? grazie
Falso dal primo passaggio... Quello col coseno non è affatto un limite notevole.
Anche qui, prova a fare un cambiamento di variabile, e.g. \(w=z-\pi\ \jmath\).
scusa hai ragione ho fatto un errore stupido nel secondo.
se faccio la sostituzione ad esempio nel primo integrale
$lim_(w->0)(sin^2(piw+pi))/((w+1)^3[(w+1)^3-1](e^(pij(w+1))+1)^2)w$ mi viene tale integrale, ho ben inteso la sostituzione da fare? perchè lo vedo più difficile di prima da risolvere cosi.
se faccio la sostituzione ad esempio nel primo integrale
$lim_(w->0)(sin^2(piw+pi))/((w+1)^3[(w+1)^3-1](e^(pij(w+1))+1)^2)w$ mi viene tale integrale, ho ben inteso la sostituzione da fare? perchè lo vedo più difficile di prima da risolvere cosi.
"endurance":
se faccio la sostituzione ad esempio nel primo limite
$lim_(w->0)(sin^2(piw+pi))/((w+1)^3[(w+1)^3-1](e^(pij(w+1))+1)^2)w$
[...] perchè lo vedo più difficile di prima da risolvere cosi.
Lo vedi più difficile perché ti ostini a non semplificare il semplificabile.
Ad esempio, sai che alune funzioni presenti lì dentro godono di notevoli proprietà, quindi perché non usarle?
Ricorda che \(\sin (\pi w+\pi) = -\sin (\pi w)\) (come nel caso reale); d'altra parte:
\[
e^{\pi\jmath (w+1)}= e^{\jmath\ \pi w}\ e^{\jmath \pi}=-e^{\jmath\ \pi w}
\]
quindi \(e^{\pi\ \jmath (w+1)}+1=-(e^{\jmath\ \pi w}-1)\) ed ecco spuntare un altro "pezzo" di limite notevole... Insomma, se non porti avanti i calcoli è difficile che tu capisca il senso di un suggerimento.
Sarebbe come voler capire il finale di un libro dalla prima pagina.
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