Limiti mediante il confronto fra infinitesimi

[rosannacir]

Salve a tutti,
ho dei problemi con il calcolo di questi due limiti, il primo dei quali la prof. ci suggerì di risolverlo mediante il confronto fra infinitesimi. Argomento che ho studiato bene teoricamente, ma al momento di risolvere praticamente i limiti...bò! Non capisco più niente e non so cosa inventarmi per risolverli.
I limiti in questione sono:

$\lim_{x\rightarrow -1} \frac{( x^{2}-2x-3)^{2}}{\arctan | x+1 |[ 1-\cos ( x+1) ]}$

$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{e^{\frac{1}{\sin x}}}{\sin x}\sin \frac{1}{x}$

Spero possiate aiutarmi. Grazie mille

[Seneca1]

"rosannacir":$\lim_{x\rightarrow -1} \frac{( x^{2}-2x-3)^{2}}{\arctan | x+1 |[ 1-\cos ( x+1) ]}$

Scomponi in fattori il numeratore e poi osserva che, per [tex]$x \to -1$[/tex] , [tex]$\arctan{|x +1|} \sim |x+1|$[/tex] e [tex]$1 - \cos(x + 1) \sim \frac{1}{2} \cdot (x+1)^2$[/tex]...

[Seneca1]

"rosannacir":$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{e^{\frac{1}{\sin x}}}{\sin x}\sin \frac{1}{x}$

Qui, per [tex]$x \to 0^-$[/tex], [tex]$e^{ \frac{1}{sin(x)}} \sim e^{ \frac{1}{x}}$[/tex] e [tex]$sin(x) \sim x$[/tex].

EDIT: Nota che, in questo caso, non è vero che [tex]$sin \left (\frac{1}{x} \right ) \sim \frac{1}{x}$[/tex]. Quindi quel fattore sarà da trattare con qualche altro metodo.

[rosannacir]

Anch'io ho fatto il tuo stesso ragionamento, ma poi mi son bloccata dinanzi a $\sin ( \frac{1}{x} )$

[Seneca1]

[tex]$\lim_{x \to 0^{-}}\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \sin \frac{1}{x}$[/tex]

[tex]$-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$[/tex] , [tex]$\forall x \in \mathbb{R}-\{0\}$[/tex]

Quindi:

[tex]$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \le \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \sin \frac{1}{x} \le - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}[/tex]