Limiti limiti e ancora limiti

[laska1]

Buongiorno e buon 2012!
Ho svolto un esercizio, si tratta di un limite di funzione (ebbene, sempre loro!) che dovrebbe venire $9/50$ e invece mi esce $9/25$. Di seguito vi riporto il testo dell'esercizio con lo svolgimento fatto da me... E vediamo dov'è che sbaglio...
Dunque, il testo è:

$lim_(x->0) ((1-cos3x)+7x^3)/(sin^2 5x+15x^6)$

Bene, prima di tutto ho studiato il $lim_(x->0) (1-cos3x)$: ho posto $3x=y$ e ho usato il limite notevole $lim_(y->0) (1-cosy)/y^2=1/2$. In particolare $lim_(x->0)(1-cos3x)=lim_(y->0)(1-cosy)=lim_(y->0)((1-cosy)/y^2)*y^2=lim_(y->0)1/2y^2=lim_(x->0) 1/2*9x^2$ .
Analogamente ho studiato $lim_(x->0) (sin^2 5x)$.
Prima ho usato il fatto che $sin^2 x/2=(1-cosx)/2$. Quindi scrivo $lim_(x->0) 2*(sin^2 (5x)/2)=((1-cos5x)/2)*2$ e adesso applico di nuovo il limite notevole $lim_(y->0) (1-cosy)/y^2=1/2$ a $(1-cos5x)$. Dunque scrivo:

$lim_(y->0)((1-cosy)/y^2)*y^2=lim_(y->0)1/2y^2=lim_(x->0) 1/2*25x^2$ .

E adesso risolvo il limite e mi ritrovo con $(9/2)*(2/25)=9/25$ che non va bene!

Oss:
Non posso usare le derivate purtroppo perché non fanno parte del programma del corso...Di conseguenza credo che la mia strategia non sia sbagliata, ma a quanto pare devo aver fatto confusione in qualche punto...

Attendo dritte!

[Seneca1]

"laska":$lim_(x->0) ((1-cos3x)+7x^3)/(sin^2 5x+15x^6)$

Prima di tutto constaterei che:

$7x^3$ e $15 x^6$ si possono trascurare poiché infinitesimi di ordine superiore.

$lim_(x->0) ((1-cos3x)+7x^3)/(sin^2 5x+15x^6) = lim_(x->0) (1-cos(3x))/(sin^2 (5x))$

$sin^2(5x) sim (5x)^2$ per $x -> 0$,

mentre $1 - cos(3x) sim 1/2 * ( 3x)^2$ per $x -> 0$.

$= lim_(x->0) (1-cos(3x))/(sin^2 (5x)) = lim_(x->0) (9/2 x^2)/(25 x^2) = 9/50$

[laska1]

Grazie molte Seneca...Mi chiedevo se potessi usare come una sorta di limite notevole (cioè applicandolo direttamente negli esercizi) la forma $lim_(x->0) (sin^n mx)/x^n=m^n$...

[Seneca1]

Sì... Per $n in NN$ direi di sì.

[laska1]

Perfetto, di nuovo grazie