Limiti in spazi metrici
Salve ragazzi.
Mi chiedevo se la definizione di funzione divergente in un punto, o di limite per $x\to \infty$, si desse in generale anche per funzioni $E_1\to E_2$, con $E_1,E_2$ spazi metrici. Generalizzare la prima mi sembra semplice, ma sui testi che consulto (Acerbi-Buttazzo, Cecconi-Stampacchia) mi pare non se ne parli. La seconda mi sembra più delicata (tenendo presente, ad esempio, la differenza che c'è tra i casi $E_1=RR$ - dove si definisce il limite per $x\to +\infty$ e $x\to -\infty$ - e $E_1=RR^n$ - dove si parla di limite per $||x||\to \infty$). Che mi dite?
Mi chiedevo se la definizione di funzione divergente in un punto, o di limite per $x\to \infty$, si desse in generale anche per funzioni $E_1\to E_2$, con $E_1,E_2$ spazi metrici. Generalizzare la prima mi sembra semplice, ma sui testi che consulto (Acerbi-Buttazzo, Cecconi-Stampacchia) mi pare non se ne parli. La seconda mi sembra più delicata (tenendo presente, ad esempio, la differenza che c'è tra i casi $E_1=RR$ - dove si definisce il limite per $x\to +\infty$ e $x\to -\infty$ - e $E_1=RR^n$ - dove si parla di limite per $||x||\to \infty$). Che mi dite?
Risposte
Premetto che ne ho solo sentito parlare; per generalizzare la convergenza e i limiti ad uno spazio topologico è stato introdotto il concetto di filtro da Cartan. Purtroppo non ti so dire di più.... 
In effetti la natura degli spazi metrici è molto variegata...
si pensi alla metrica discreta in un insieme non vuoto qualsiasi... può essere poi utile?
Poi in merito ad R^m (Spazio vettoriale euclideo) se si definiscono gli intorni di $ \infty $ come tutti i punti di norma > di un numero positivo allora si può nel modo tradizionale definirne la convergenza di funzioni a valori vettoriali (Fleming Functions of Several Variables a pag 36).
Cordiali saluti
si pensi alla metrica discreta in un insieme non vuoto qualsiasi... può essere poi utile?
Poi in merito ad R^m (Spazio vettoriale euclideo) se si definiscono gli intorni di $ \infty $ come tutti i punti di norma > di un numero positivo allora si può nel modo tradizionale definirne la convergenza di funzioni a valori vettoriali (Fleming Functions of Several Variables a pag 36).
Cordiali saluti
Ovviamente non puoi aspettarti di poter generalizzare la nozione di divergenza a qualsiasi spazio metrico.
Ad esempio, prendi \(\mathbb{R}\) con la metrica:
\[
d^\prime(x,y):= \min \{ |x-y|, 1\}\; ,
\]
o con la metrica:
\[
d^{\prime \prime} (x,y):= \frac{|x-y|}{1+|x-y|}\; .
\]
Come fai a dare un senso alla frase "la funzione $f:\mathbb{R}_{\text{nat}}\to \mathbb{R}$ diverge" se lo spazio d'arrivo \(\mathbb{R}\) è equipaggiato della topologia indotta da $d^\prime$ o $d^{\prime \prime}$?
Ad esempio, prendi \(\mathbb{R}\) con la metrica:
\[
d^\prime(x,y):= \min \{ |x-y|, 1\}\; ,
\]
o con la metrica:
\[
d^{\prime \prime} (x,y):= \frac{|x-y|}{1+|x-y|}\; .
\]
Come fai a dare un senso alla frase "la funzione $f:\mathbb{R}_{\text{nat}}\to \mathbb{R}$ diverge" se lo spazio d'arrivo \(\mathbb{R}\) è equipaggiato della topologia indotta da $d^\prime$ o $d^{\prime \prime}$?
Buona sera
io direi che:
nel caso $R^m $ si può unire ad esso un simbolo diciamolo $ oo $ e definire per ogni elemento della unione la classe degli intorni assiomaticamente :
per elementi di $ R^m $
$ Ux= {tin R^m : d(t,x)< r, AA r>0} $
per il simbolo $ oo $
$ Uoo={tin R^m : || t|| > r, AA r>0} $
dove la distanza e norma sono quelli euclidei;
Pertanto assegnata una trasformazione $ f(x) $ di tale insieme in se, dati i punti L, y di $ R^m uu oo $ è
$ lim_(x -> y)f =L hArr AA AinUdiL $ $ EE BinUy : f(B-y)sube A $
A parole: ad ogni intorno di L (diciamolo A) si può individuare un intorno di y (diciamolo B) tale che è
$ f(B-y)sube A $
Così si dovrebbero contemplare i casi da Lei considerati.
Spero di essere stato utile.
Cordiali saluti
io direi che:
nel caso $R^m $ si può unire ad esso un simbolo diciamolo $ oo $ e definire per ogni elemento della unione la classe degli intorni assiomaticamente :
per elementi di $ R^m $
$ Ux= {tin R^m : d(t,x)< r, AA r>0} $
per il simbolo $ oo $
$ Uoo={tin R^m : || t|| > r, AA r>0} $
dove la distanza e norma sono quelli euclidei;
Pertanto assegnata una trasformazione $ f(x) $ di tale insieme in se, dati i punti L, y di $ R^m uu oo $ è
$ lim_(x -> y)f =L hArr AA AinUdiL $ $ EE BinUy : f(B-y)sube A $
A parole: ad ogni intorno di L (diciamolo A) si può individuare un intorno di y (diciamolo B) tale che è
$ f(B-y)sube A $
Così si dovrebbero contemplare i casi da Lei considerati.
Spero di essere stato utile.
Cordiali saluti
Buonasera ragazzi, grazie a tutti per le risposte.
giusto, giusto. Deduco che in situazioni del genere non avrebbe senso procedere a definire gli intorni di $\infty$ come in $RR^n$ (munito della metrica euclidea) nel modo che ha descritto Mino, e di conseguenza non si potrebbe dare la definizione di divergenza, né di limite per $x\to \infty$ (dove, puntualizzo, l'elemento $\infty$ che si aggiunge allo spazio metrico fa il suo abituale "lavoro" di indicare qualcosa di "infinitamente grande" ).
Ci sono dei "casi particolari" in cui è lecito - e, soprattutto, utile - far questo? Che ne so...quando ad esempio $d$ è illimitata superiormente?
Grazie ancora
"gugo82":
Ovviamente non puoi aspettarti di poter generalizzare la nozione di divergenza a qualsiasi spazio metrico.
Ad esempio, prendi \(\mathbb{R}\) con la metrica:
\[
d^\prime(x,y):= \min \{ |x-y|, 1\}\; ,
\]
o con la metrica:
\[
d^{\prime \prime} (x,y):= \frac{|x-y|}{1+|x-y|}\; .
\]
Come fai a dare un senso alla frase "la funzione $f:\mathbb{R}_{\text{nat}}\to \mathbb{R}$ diverge" se lo spazio d'arrivo \(\mathbb{R}\) è equipaggiato della topologia indotta da $d^\prime$ o $d^{\prime \prime}$?
giusto, giusto. Deduco che in situazioni del genere non avrebbe senso procedere a definire gli intorni di $\infty$ come in $RR^n$ (munito della metrica euclidea) nel modo che ha descritto Mino, e di conseguenza non si potrebbe dare la definizione di divergenza, né di limite per $x\to \infty$ (dove, puntualizzo, l'elemento $\infty$ che si aggiunge allo spazio metrico fa il suo abituale "lavoro" di indicare qualcosa di "infinitamente grande" ). Ci sono dei "casi particolari" in cui è lecito - e, soprattutto, utile - far questo? Che ne so...quando ad esempio $d$ è illimitata superiormente?
Grazie ancora
La mia risposta era, ovviamente, provocatoria: insomma, un'esortazione a pensare bene prima di generalizzare. 
Ad ogni buon conto, la costruzione proposta da Mino_01 è quella che usualmente si chiama compattificazione di Alexandrov e si può sempre fare in ogni spazio topologico (ed in particolare metrico) non compatto.
In soldoni, si sceglie di "aggiungere" al sostegno dello spazio topologico un ulteriore elemento, usualmente denotato con $\infty$, ed alla topologia preesistente si "aggiungono" opportuni aperti che formino una base di intorni di $\infty$. In tal modo si ottiene uno spazio topologico compatto ed acquistano dignità le scritture $\lim_{x\to \infty} f(x)$ o $f(x)\to \infty$ (a seconda di come sia definita $f$).
Ad ogni buon conto, la costruzione proposta da Mino_01 è quella che usualmente si chiama compattificazione di Alexandrov e si può sempre fare in ogni spazio topologico (ed in particolare metrico) non compatto.
In soldoni, si sceglie di "aggiungere" al sostegno dello spazio topologico un ulteriore elemento, usualmente denotato con $\infty$, ed alla topologia preesistente si "aggiungono" opportuni aperti che formino una base di intorni di $\infty$. In tal modo si ottiene uno spazio topologico compatto ed acquistano dignità le scritture $\lim_{x\to \infty} f(x)$ o $f(x)\to \infty$ (a seconda di come sia definita $f$).
"gugo82":
La mia risposta era, ovviamente, provocatoria: insomma, un'esortazione a pensare bene prima di generalizzare.
Ho colto
hai ragione."gugo82":
Ad ogni buon conto, la costruzione proposta da Mino_01 è quella che usualmente si chiama compattificazione di Alexandrov e si può sempre fare in ogni spazio topologico (ed in particolare metrico) non compatto.
In soldoni, si sceglie di "aggiungere" al sostegno dello spazio topologico un ulteriore elemento, usualmente denotato con $\infty$, ed alla topologia preesistente si "aggiungono" opportuni aperti che formino una base di intorni di $\infty$. In tal modo si ottiene uno spazio topologico compatto ed acquistano dignità le scritture $\lim_{x\to \infty} f(x)$ o $f(x)\to \infty$ (a seconda di come sia definita $f$).
Di spazi topologici ne so davvero poco e niente, ma mi pare di aver afferrato l'idea che c'è dietro. A tempo debito vedrò di approfondire. Grazie
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