Limiti in $RR^2 -> RR$ con restrizione del dominio
non mi e' chiaro uno stupido passaggio in un esercizio svolto:
trovare $lim_{(x,y) -> (oo, oo)} x^4 + y^4 -x^2 -y^2 +xy$
ora, per trovare il limite:
1)considererei la restrizione $y=x$ e quindi
$lim_{(x,x) -> (oo, oo)} 2x^4 -x^2 = +oo$
2)passerei in coordinate polari e cercherei di maggiorare la funzione per mostrare che il limite e' $oo$ indipendentemente da come ci si avvicina.
pero' nell'esercizio svolto viene considerata la restrizione $y=0$. Non dovrebbe essere concettualmente sbagliato (anche se in questo caso funziona)?
non dovrei considerare sempre una restrizione del tipo $y = \gamma(x)$ con $\gamma(x) -> y_{0}$ ?? non mi pare che $y=0 -> oo$
grazie
trovare $lim_{(x,y) -> (oo, oo)} x^4 + y^4 -x^2 -y^2 +xy$
ora, per trovare il limite:
1)considererei la restrizione $y=x$ e quindi
$lim_{(x,x) -> (oo, oo)} 2x^4 -x^2 = +oo$
2)passerei in coordinate polari e cercherei di maggiorare la funzione per mostrare che il limite e' $oo$ indipendentemente da come ci si avvicina.
pero' nell'esercizio svolto viene considerata la restrizione $y=0$. Non dovrebbe essere concettualmente sbagliato (anche se in questo caso funziona)?
non dovrei considerare sempre una restrizione del tipo $y = \gamma(x)$ con $\gamma(x) -> y_{0}$ ?? non mi pare che $y=0 -> oo$
grazie
Risposte
Invece di fare così io considererei che:
$x^4+y^4-x^2-y^2+xy=(x^4+y^4)(1/(x^4+y^4)-(x^2+y^2)/(x^4+y^4)+(xy)/(x^4+y^4))
e $x^4+y^4$ è ovviamente un infinito di ordine superiore a $x^2+y^2$ e $xy$,
per cui $f(x,y)~~x^4+y^4$ per $(x,y)->(+oo,+oo)$ (e anche per $(x,y)->(-oo,-oo)$)
e il limite dato è $+oo$.
$x^4+y^4-x^2-y^2+xy=(x^4+y^4)(1/(x^4+y^4)-(x^2+y^2)/(x^4+y^4)+(xy)/(x^4+y^4))
e $x^4+y^4$ è ovviamente un infinito di ordine superiore a $x^2+y^2$ e $xy$,
per cui $f(x,y)~~x^4+y^4$ per $(x,y)->(+oo,+oo)$ (e anche per $(x,y)->(-oo,-oo)$)
e il limite dato è $+oo$.
ok, ma questo non risolve il mio dubbio 
"vl4d":
non mi e' chiaro uno stupido passaggio in un esercizio svolto:
trovare $lim_{(x,y) -> (oo, oo)} x^4 + y^4 -x^2 -y^2 +xy$
ora, per trovare il limite:
1)considererei la restrizione $y=x$ e quindi
$lim_{(x,x) -> (oo, oo)} 2x^4 -x^2 = +oo$
2)passerei in coordinate polari e cercherei di maggiorare la funzione per mostrare che il limite e' $oo$ indipendentemente da come ci si avvicina.
minorare, non maggiorare, naturalmente
"vl4d":
pero' nell'esercizio svolto viene considerata la restrizione $y=0$. Non dovrebbe essere concettualmente sbagliato (anche se in questo caso funziona)?
non dovrei considerare sempre una restrizione del tipo $y = \gamma(x)$ con $\gamma(x) -> y_{0}$ ?? non mi pare che $y=0 -> oo$
grazie
Non mi è tutto chiaro. Allora esaminiamo le due alternative che "vedo".
Se nell'esercizio svolto, dalla sola restrizone a $y=0$ si conclude affermativamente sull'esistenza del linite, è sbagliato.
Mi pare di capire però che la questione è un po' diversa.
L'esercizio svolto usa $y=0$ invece della $y=x$ che usi tu per decidere che, se il limite esiste, allora può solo essere uguale a + infinito.
Se così è, allora quanto viene fatto nell'esercizio svolto è pienamente corretto.
Io lo spiego così.
1. se il lim è $+oo$, allora è tale per ogni restrizione ad un sottoinsieme che abbia $oo$ come punto di accumulazione
2. l'asse delle $x$ ha effettivamente $oo$ come punto di accumulazione, quindi va bene per "testare" la funzione
3. fare il lim della funzione di due variabili ristretta a questo sottoinsieme (intendo l'asse delle $x$) è equivalente a fare il limite per $x -> oo$ della funzione di una sola variabile $f(x,0)$
1. se il lim è $+oo$, allora è tale per ogni restrizione ad un sottoinsieme che abbia $oo$ come punto di accumulazione
questo non mi e' chiaro. non capisco perche' il punto di accumulazione $(oo, oo)$ e' equivalente a $(oo, c)$ ... a questo punto penso di non sapere cosa sia un punto di accumulazione del tipo $(oo, oo, ...)$ in $RR^n$
(cmq grazie per aver cercato di interpretare una domanda posta non troppo bene
)
OK, provo a spiegarmi meglio
in $RR^2$ si usa dire che $oo$ è punto di accumulazione di un insieme $A$ se e solo se per ogni $r>0$ esiste in $A$ almeno un punto a distanza maggiore di $r$ dall'origine
E' il concetto "giusto" di "punto di accumulazione" quando si fa il $lim_{||x|| -> oo}$.
Tu hai scritto $lim_{(x,y) -> (oo, oo)}$ che io ho interpretato appunto come $lim_{||x|| -> oo}$.
Se ho sbagliato interpretazione, vorrei però capire cosa intendi per $lim_{(x,y) -> (oo, oo)}$.
Aggiungo che l'uso di "un solo infinito" è, a mio parere, giustificato dalla intepretazione di questi limiti via compattificazione di Alexandrov di $RR^n$. Si parla infatti di aggiunta di "un punto all'infinito".
ciao
in $RR^2$ si usa dire che $oo$ è punto di accumulazione di un insieme $A$ se e solo se per ogni $r>0$ esiste in $A$ almeno un punto a distanza maggiore di $r$ dall'origine
E' il concetto "giusto" di "punto di accumulazione" quando si fa il $lim_{||x|| -> oo}$.
Tu hai scritto $lim_{(x,y) -> (oo, oo)}$ che io ho interpretato appunto come $lim_{||x|| -> oo}$.
Se ho sbagliato interpretazione, vorrei però capire cosa intendi per $lim_{(x,y) -> (oo, oo)}$.
Aggiungo che l'uso di "un solo infinito" è, a mio parere, giustificato dalla intepretazione di questi limiti via compattificazione di Alexandrov di $RR^n$. Si parla infatti di aggiunta di "un punto all'infinito".
ciao
in $RR^2$ si usa dire che $oo$ è punto di accumulazione di un insieme $A$ se e solo se per ogni $r>0$ esiste in $A$ almeno un punto a distanza maggiore di $r$ dall'origine
eccolo! allora mi quadra, praticamente non ha molto senso scrivere $(oo, oo, ..., oo)$ come punto di accumulazione per $RR^n$ ... dannato esercizio svolto...
grazie!
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