Limiti in R^2

[LolAsdOmgWtfAfk]

Salve a tutti, volevo esporre una perplessità che mi è sorta facendo limiti di funzioni $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$. Per comodità nello svolgimento porto sempre le coordinate in polari $\rho , \theta$ e cerco di dimostrare che il limite va a un certo valore indipendentemente da $\theta$.
L'esempio tipico di esercizio è un limite per $(x,y) \rightarrow (0,0) $ di una certa $f(x,y)$ che io faccio diventare limite per $\rho \rightarrow 0$ di $f(\rho ,\theta)$ ponendo
\[ x= x_0 + \rho cos\theta \; \; , y= y_0 + \rho sin\theta. \]

Il mio dubbio nasce dal fatto che la base del calcolo di questo tipo di limiti è dimostrare a cosa tendono $\rho sin\theta$ e $\rho cos \theta$, per $\rho \rightarrow 0$ uniformemente in $\theta$. A livello intuitivo mi sorge spontaneo supporre che tendano entrambi a $0$, se volessi dimostrarlo un processo che ho pensato è il seguente:

1- la funzione seno assume valori compresi tra $0$ e $1$; quando tende a valori diversi da $0$, ai fini del calcolo del limite possiamo considerarla come un semplice numero reale né infinito né infinitesimo. Quando tende a $0$ lo fa linearmente secondo $\theta$ per cui in questo caso $sin\theta \sim \theta$. Questo significa che il limite di $\rho sin \theta$ è zero sia che il seno sia un numero finito, sia che tenda a zero: infatti in questo caso lo fa con lo stesso ordine d'infinitesimo di $\rho$. Da ciò ne deduco che la funzione $\rho$ maggiora $\rho sin\theta$

2- sapendo che $cos\theta =\sqrt{1-sin\theta}$ deduco che
\[ \rho cos\theta = \sqrt{\rho^2-(\rho sin \theta)^2}; \]
per $\rho \rightarrow 0$ il primo termine sotto radice tende a zero, il secondo pure per il motivo detto sopra e quindi anche $\rho cos\theta$ tende uniformemente a zero.

Metto le mani avanti, quante cose ho sbagliato? ^^

PS: peccato che l'itemize di latex non funzioni

[LolAsdOmgWtfAfk]

Mi è venuto in mente un'altro modo molto meno macchinoso, lo scrivo qui per creare meno confusione. Il mio scopo è dimostrare che $\rho \geq \rho sin\theta$ e $rho \geq \rho cos\theta$, per qualsiasi $\rho$ indipendentemente da $\theta$, in modo da applicare il teorema del confronto a $\rho sin\theta$ e $\rho cos\theta$, strette tra il carabiniere costante $0$ e il carabiniere $\rho$, che tende a $0$.
Ma moltiplicare $\rho$ per un seno o coseno significa sempre dividerlo per un certo numero dato che seno e coseno non sono mai maggiori di $1$. Ciò significa che $\rho cos\theta$ e $\rho sin\theta$ sono sempre minori di $\rho$, qualsiasi sia il valore di $\theta$ e che per $\rho \rightarrow 0$ tendono a $0$.