Limiti in punti di frontiera
A me quando il mio prof di analasi I mi diede la prima definizione di limite (e ovviamente venendo dal classico non la capi 
)
questa era:
$f: A sube RR mapsto R$;
$x_0$ punto di accumulazione di $A$,
la $f$ ha limite finito $l$ in $x_0$ se:
$forall varepsilon>0 \quad exists delta>0 " tale che " forall x in A, \quad 0<|x-x_0|
quindi il punto deve essere nel dominio...
)questa era:
$f: A sube RR mapsto R$;
$x_0$ punto di accumulazione di $A$,
la $f$ ha limite finito $l$ in $x_0$ se:
$forall varepsilon>0 \quad exists delta>0 " tale che " forall x in A, \quad 0<|x-x_0|
quindi il punto deve essere nel dominio...
Risposte
Ciao Sergio!
Infatti nell'ipotesi di base della c.n.s. da te richiamata và,esplicitamente,
messo in evidenza che questi i i limiti dx ed sx siano entrambi leciti da chiedere ed entrambi esistenti;
è insomma vero che $EElim_(x->0)log|x|=-oo$,perchè $EElim_(x->0^+)log|x|=lim_(x->0^-)log|x|=-oo$,
ma non è giusto scrivere che $EElim_(x->0)logx=-oo$,
perchè questo richiederebbe,per la condizione imprescindibile $0inDX$ della definizione di limite,
che f(x) sia ben definita in ogni intorno completo di 0:
ciò è falso,e dunque l'unica cosa lecita e corretta da dire è che $EElim_(x->0^+)log x=-oo$
(visto anche come il limite destro non sia lecito da chiedere..)!
Ora,se è lecito
,ti dico che son solo scuole di pensiero e gusto estetico sulla forma:
se la mia ti piace falla tua,che tanto conta la sostanza e di quella ne hai tanta..
Saluti dal web.
Infatti nell'ipotesi di base della c.n.s. da te richiamata và,esplicitamente,
messo in evidenza che questi i i limiti dx ed sx siano entrambi leciti da chiedere ed entrambi esistenti;
è insomma vero che $EElim_(x->0)log|x|=-oo$,perchè $EElim_(x->0^+)log|x|=lim_(x->0^-)log|x|=-oo$,
ma non è giusto scrivere che $EElim_(x->0)logx=-oo$,
perchè questo richiederebbe,per la condizione imprescindibile $0inDX$ della definizione di limite,
che f(x) sia ben definita in ogni intorno completo di 0:
ciò è falso,e dunque l'unica cosa lecita e corretta da dire è che $EElim_(x->0^+)log x=-oo$
(visto anche come il limite destro non sia lecito da chiedere..)!
Ora,se è lecito
,ti dico che son solo scuole di pensiero e gusto estetico sulla forma:se la mia ti piace falla tua,che tanto conta la sostanza e di quella ne hai tanta..
Saluti dal web.
"DajeForte":
...implica $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$
Forse intendevi $|f(x)-l|<\epsilon$.
a Sergio:
quella condizione necessaria e sufficiente è tale quando hanno significato sia il lim sinistro che quello destro; se ha senso solo uno dei due, per esempio solo quello destro, ovviamente il lim esiste se e solo se esiste quello destro (e sono uguali)
quella condizione necessaria e sufficiente è tale quando hanno significato sia il lim sinistro che quello destro; se ha senso solo uno dei due, per esempio solo quello destro, ovviamente il lim esiste se e solo se esiste quello destro (e sono uguali)
Ciao Sergio,
mi fa piacere vedere che sei tornato "attivo", matematicamente parlando.
Ad ogni modo, sono un po' di fretta (e sono parecchio stanco), però una cosa - non so quanto utile e/o giusta - la voglio dire.
Non sono per nulla d'accordo con questa definizione. Ok sarà che ultimamente mi stanno facendo una testa così con i prolungamenti (per le soluzioni dei problemi di Cauchy), però secondo me la cosa va formalizzata un po' meglio. E l'idea, secondo me, non è comunque quella che citi da wiki.
A parole, vogliamo definire il concetto di derivata su un chiuso. Be', sui punti interni no problem. Il busillis, come hai già osservato, sta nella frontiera. E allora come facciamo? Semplice, facciamo in modo che i punti di frontiera diventino "interni".
Rigorosamente, sia $F: U \to \RR$ una funzione, dove $U$ è un aperto di $\RR_{+}^{n}:={u\in \RR^{n} : u_{n} \ge 0}$ (nota che il fatto che $U$ sia aperto in $RR_{+}^{n}$ non implica necessariamente che $U$ sia aperto in $\RR^{n}$). Diremo che $F$ è (differenziabile) di classe $C^{k}$ se $F$ possiede un'estensione di classe $C^{k}$ a un aperto di $\RR^{n}$ contenente $U$. (!!)
Ecco qui svelato il mistero. In pratica, vuoi la derivata in $[a,b]$? Allora in $(a,b)$ sei a posto. In $a$ che succede? Intuitivamente, la funzione sarà derivabile in $a$ se ti puoi spostare un pochino a sinistra di $a$ (quanto ti basta per fare il limite, diciamo di $epsilon$) in maniera che la tua funzione su $(a-epsilon, b)$ (aperto!) sia derivabile.
Un po' più chiaro?
Ah, questa cosa in generale la puoi trovare sul Sernesi 2, nel paragrafo sulle "Varietà con bordo".
Notte
mi fa piacere vedere che sei tornato "attivo", matematicamente parlando.
Ad ogni modo, sono un po' di fretta (e sono parecchio stanco), però una cosa - non so quanto utile e/o giusta - la voglio dire.
"Sergio":
Le derivate destra e sinistra permettono di definire la derivabilità su un intervallo non aperto: se $f$ è definita ad esempio nell'intervallo chiuso $[a, b]$, si dice che $f$ è derivabile in $(a, b)$ se è derivabile in ogni punto interno $x$ in $(a, b)$ e se esistono le derivate destra e sinistra rispettivamente negli estremi $x=a$ e $x=b$».?
Non sono per nulla d'accordo con questa definizione. Ok sarà che ultimamente mi stanno facendo una testa così con i prolungamenti (per le soluzioni dei problemi di Cauchy), però secondo me la cosa va formalizzata un po' meglio. E l'idea, secondo me, non è comunque quella che citi da wiki.
A parole, vogliamo definire il concetto di derivata su un chiuso. Be', sui punti interni no problem. Il busillis, come hai già osservato, sta nella frontiera. E allora come facciamo? Semplice, facciamo in modo che i punti di frontiera diventino "interni".
Rigorosamente, sia $F: U \to \RR$ una funzione, dove $U$ è un aperto di $\RR_{+}^{n}:={u\in \RR^{n} : u_{n} \ge 0}$ (nota che il fatto che $U$ sia aperto in $RR_{+}^{n}$ non implica necessariamente che $U$ sia aperto in $\RR^{n}$). Diremo che $F$ è (differenziabile) di classe $C^{k}$ se $F$ possiede un'estensione di classe $C^{k}$ a un aperto di $\RR^{n}$ contenente $U$. (!!)
Ecco qui svelato il mistero. In pratica, vuoi la derivata in $[a,b]$? Allora in $(a,b)$ sei a posto. In $a$ che succede? Intuitivamente, la funzione sarà derivabile in $a$ se ti puoi spostare un pochino a sinistra di $a$ (quanto ti basta per fare il limite, diciamo di $epsilon$) in maniera che la tua funzione su $(a-epsilon, b)$ (aperto!) sia derivabile.
Un po' più chiaro?
Ah, questa cosa in generale la puoi trovare sul Sernesi 2, nel paragrafo sulle "Varietà con bordo".
Notte
Ho scritto in questo thread (un po' in fondo)
derivata-e-discontinuita-di-prima-specie-t84278.html
qualcosa a proposito di limiti sinistri e destri. Lì si parlava di continuità, ma tutto può essere riadattato ai limiti.
Spero possa essere d'aiuto.
derivata-e-discontinuita-di-prima-specie-t84278.html
qualcosa a proposito di limiti sinistri e destri. Lì si parlava di continuità, ma tutto può essere riadattato ai limiti.
Spero possa essere d'aiuto.
"Sergio":
Non è una cosa molto importante in sé, ma si tratta di un caso che mi fa pensare di dover esplicitare bene (diciamo in una sorta di "limiti for dummies") alcune condizioni, pena lo scivolare in errori banali (del tipo: sembra così "ovvio" che $\lim_{x\to 0}\log(x)=-\infty$).
Sinceramente, a me non pare così "ovvio". Forse è questo un caso in cui il parallelo con dimensioni superiori aiuta. Se sei pratico, come immagino, di calcolo di limiti, derivate, gradienti e quant'altro nello spazio (o in dimensione qualsiasi), certamente saprai che ben pochi limiti esistono (molto spesso anche quelli dati nei compiti di analisi non esistono
). In sostanza, non esistono perché dipende da come ti avvicini al punto. Dentro una palla (l'intorno per antonomasia) ti puoi muovere un po' come meglio credi: lungo il raggio, lungo una parabola etc. E affinchè il limite esista tutti questi modi di avvicinarti al punto devono produrre lo stesso risultato. Analogamente sulla retta reale, con l'aggiunta che lì la direzione per muoversi è unica e i versi sono solo due: a destra o a sinistra.
"Sergio":
Il problema è che sarei tentato di dire che, perché $f(x)$ ammetta un limite per $x\to x_0$, $x_0$ non solo deve essere un punto di accumulazione per il dominio di $f$, ma deve anche non essere un punto di frontiera del dominio (altrimenti il limite destro o sinistro non esiste).
Il derivato di $A subset X$ (spazio topologico) sta dentro alla chiusura (=pti di aderenza) che è l'interno unito alla frontiera. Quindi, un punto di accumulazione è o interno o di frontiera. Di conseguenza, se mi dici che vuoi punti di accumulazione ma non di frontiera mi stai dicendo che vuoi solo punti interni al dominio
Sergio, è lo stesso dominio a porre queste limitazioni. Parti proprio dalla tua scrittura $\lim_{x\to 0}\log(x)=-\infty$. A parole, vuol dire che fissato $M>0$, esiste $delta>0$ tale che per ogni $x$ che sta nel dominio intersecato l'intorno bucato di $0$ di raggio $delta$ risulti $f(x)<-M$.
"Per ogni $x$ che sta nel dominio intersecato l'intorno bucato di $0$ di raggio $delta$" , cioè per ogni $x>0$ per cui $-delta
Forse ho generato confusione
Ripartiamo dalla definizione di limite (per funzioni reali di variabile reale; rimaniamo nel caso finito che è più che sufficiente).
Def. Sia $f:A\to\RR$, $A\subset\RR$, e sia $x_0\in\RR$ un punto di accumulazione per $A$.
Diremo che un numero reale $l\in\RR$ è il limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ se
per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta > 0$ tale che $|f(x) - l| < \epsilon$ per ogni $x \in A$, $0< |x-x_0| < \delta$.
Questa è la definizione standard (e corretta) che trovi praticamente su qualsiasi libro.
Per poter parlare di limite destro (e analogamente sinistro) non basta, in generale, che $x_0$ sia un punto di accumulazione per $A$; infatti, per poter definire il limite destro è necessario che $x_0$ sia punto di accumulazione per $A \cap (x_0,+\infty)$, e analogamente per poter definire il limite sinistro è necessario che $x_0$ sia punto di accumulazione per $A\cap (-\infty, x_0)$. E' chiaro che ciascuna di queste due condizioni implica che $x_0$ sia punto di accumulazione per $A$.
Ad esempio, nel caso da te citato ($f(x) = \log x$) tu hai che $A = (0,+\infty)$, dunque $x_0 = 0$ è un punto di accumulazione per $A$, ma non è punto di accumulazione per $A\cap (-\infty, 0)$, che è l'insieme vuoto; non ha dunque senso parlare di limite sinistro.
Il teorema che caratterizza un limite a partire da quelli sinistro e destro andrebbe dunque enunciato così:
Teorema. Sia $f:A\to\RR$, $A\subset \RR$, e supponiamo che $x_0\in\RR$ sia contemporaneamente punto di accumulazione sia per $A \cap (x_0,+\infty)$ che per $A\cap (-\infty, x_0)$.
Allora esiste $\lim_{x\to x_0} f(x) = l$ se e solo se esistono $\lim_{x\to x_0+} f(x)$, $\lim_{x\to x_0-} f(x)$ e valgono entrambi $l$.
Ripartiamo dalla definizione di limite (per funzioni reali di variabile reale; rimaniamo nel caso finito che è più che sufficiente).
Def. Sia $f:A\to\RR$, $A\subset\RR$, e sia $x_0\in\RR$ un punto di accumulazione per $A$.
Diremo che un numero reale $l\in\RR$ è il limite di $f$ per $x$ che tende a $x_0$ se
per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta > 0$ tale che $|f(x) - l| < \epsilon$ per ogni $x \in A$, $0< |x-x_0| < \delta$.
Questa è la definizione standard (e corretta) che trovi praticamente su qualsiasi libro.
Per poter parlare di limite destro (e analogamente sinistro) non basta, in generale, che $x_0$ sia un punto di accumulazione per $A$; infatti, per poter definire il limite destro è necessario che $x_0$ sia punto di accumulazione per $A \cap (x_0,+\infty)$, e analogamente per poter definire il limite sinistro è necessario che $x_0$ sia punto di accumulazione per $A\cap (-\infty, x_0)$. E' chiaro che ciascuna di queste due condizioni implica che $x_0$ sia punto di accumulazione per $A$.
Ad esempio, nel caso da te citato ($f(x) = \log x$) tu hai che $A = (0,+\infty)$, dunque $x_0 = 0$ è un punto di accumulazione per $A$, ma non è punto di accumulazione per $A\cap (-\infty, 0)$, che è l'insieme vuoto; non ha dunque senso parlare di limite sinistro.
Il teorema che caratterizza un limite a partire da quelli sinistro e destro andrebbe dunque enunciato così:
Teorema. Sia $f:A\to\RR$, $A\subset \RR$, e supponiamo che $x_0\in\RR$ sia contemporaneamente punto di accumulazione sia per $A \cap (x_0,+\infty)$ che per $A\cap (-\infty, x_0)$.
Allora esiste $\lim_{x\to x_0} f(x) = l$ se e solo se esistono $\lim_{x\to x_0+} f(x)$, $\lim_{x\to x_0-} f(x)$ e valgono entrambi $l$.
Ciao Rigel, concordo con l'ultimo tuo post (in altre parole lo avevo anticipato nel mio post precedente) ma aggiungerei l'analisi anche al caso in cui ha significato solo, per esempio, quello destro; sto leggendo in questo argomento troppo spesso che $log x$ non ha limite in 0 e la cosa non mi "entusiasma"
La definizione corretta di limite è quella del Pagani-Salsa (che dovrebbe coincidere con quella che ho riportato io), e che equivale, nelle tue notazioni, a dire che $f((U\setminus\{x_0})\cap A) \subset V$.
Riguardo al limite del logaritmo, non ho capito cosa ingeneri confusione.
Secondo la definizione di limite $-\infty$, devi dimostrare che:
per ogni $M\in\RR$ esiste $\delta > 0$ tale che $\log x < M$ per ogni $x \in A = (0, +\infty)$ con $0 < |x| < \delta$,
vale a dire per ogni $x\in (0, \delta)$.
Fissato $M$, basta porre $\delta = e^M$ e tutto torna; di conseguenza, esiste $\lim_{x\to 0} \log x $ e vale $-\infty$.
Ovviamente il limite destro esiste anch'esso e vale $-\infty$; di limite sinistro invece non si può nemmeno parlare, dal momento che $x_0 = 0$ non è punto di accumulazione di $A\cap (-\infty, 0)$.
Riguardo ai teoremi su limiti sx e dx che hai citato, la formulazione corretta è quella che ho riportato in un precedente post; nei libri si dà spesso per scontato che tali risultati siano validi solo se si può parlare di limiti sinistri e destri.
Riguardo al limite del logaritmo, non ho capito cosa ingeneri confusione.
Secondo la definizione di limite $-\infty$, devi dimostrare che:
per ogni $M\in\RR$ esiste $\delta > 0$ tale che $\log x < M$ per ogni $x \in A = (0, +\infty)$ con $0 < |x| < \delta$,
vale a dire per ogni $x\in (0, \delta)$.
Fissato $M$, basta porre $\delta = e^M$ e tutto torna; di conseguenza, esiste $\lim_{x\to 0} \log x $ e vale $-\infty$.
Ovviamente il limite destro esiste anch'esso e vale $-\infty$; di limite sinistro invece non si può nemmeno parlare, dal momento che $x_0 = 0$ non è punto di accumulazione di $A\cap (-\infty, 0)$.
Riguardo ai teoremi su limiti sx e dx che hai citato, la formulazione corretta è quella che ho riportato in un precedente post; nei libri si dà spesso per scontato che tali risultati siano validi solo se si può parlare di limiti sinistri e destri.
Sul fatto che $\lim_{x\to 0} \log(x)$ esista e valga $-\infty$ non ci piove.
Per poter usare il risultato che coinvolge i limiti sx e dx, come già detto, è necessario che si possa parlare di tali limiti, cosa possibile solo se $x_0$ è di accumulazione per $A\cap (x_0, +\infty)$ e $A\cap (-\infty, x_0)$.
Quindi sì, se vuoi, la condizione è solo sufficiente: se posso parlare di quei due limiti e se essi esistono e sono uguali, allora esiste anche il limite etc etc. (diventa necessaria e sufficiente se a priori richiedi che si possa parlare dei lim. sx e dx).
Per poter usare il risultato che coinvolge i limiti sx e dx, come già detto, è necessario che si possa parlare di tali limiti, cosa possibile solo se $x_0$ è di accumulazione per $A\cap (x_0, +\infty)$ e $A\cap (-\infty, x_0)$.
Quindi sì, se vuoi, la condizione è solo sufficiente: se posso parlare di quei due limiti e se essi esistono e sono uguali, allora esiste anche il limite etc etc. (diventa necessaria e sufficiente se a priori richiedi che si possa parlare dei lim. sx e dx).
La versione generale è quella che ho già scritto in precedenza:
Teorema. Sia $f:A\to\RR$, $A\subset \RR$, e supponiamo che $x_0\in\RR$ sia contemporaneamente punto di accumulazione sia per $A \cap (x_0,+\infty)$ che per $A\cap (-\infty, x_0)$.
Allora esiste $\lim_{x\to x_0} f(x) = l$ se e solo se esistono $\lim_{x\to x_0+} f(x)$, $\lim_{x\to x_0-} f(x)$ e valgono entrambi $l$.
Al posto di dire che $f$ deve essere definita per $x x_0$.
Come ho già detto, se vale anche una sola di queste condizioni $x_0$ risulta essere di accumulazione per $A$.
Teorema. Sia $f:A\to\RR$, $A\subset \RR$, e supponiamo che $x_0\in\RR$ sia contemporaneamente punto di accumulazione sia per $A \cap (x_0,+\infty)$ che per $A\cap (-\infty, x_0)$.
Allora esiste $\lim_{x\to x_0} f(x) = l$ se e solo se esistono $\lim_{x\to x_0+} f(x)$, $\lim_{x\to x_0-} f(x)$ e valgono entrambi $l$.
Al posto di dire che $f$ deve essere definita per $x
Come ho già detto, se vale anche una sola di queste condizioni $x_0$ risulta essere di accumulazione per $A$.
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