Limiti in due variabili in coordinate polari
Salve a tutti, oggi abbiamo affrontato i limiti in due variabili e anche i limiti in coordinate polari e avrei alcune domande:
Volevo chiedere innanzitutto se questo procedimento è corretto (sappiamo già che il limite non esiste però la professoressa ha detto di provare a svolgerlo in coordinate polari per esercizio):
$\lim_{(x,y)\ to \vec 0} \frac{x^2y}{x^4+y^2}$
Fatta la trasformazione in coordinate polari arrivo a:
$\lim_{\rho \to 0^+} \rho \frac{cos^\theta sin\theta}{\rho^2 cos^4\theta +sin^2\theta}$
Adesso se ho capito bene la strategia, se chiamo $a(\rho,\theta) = \frac{cos^\theta sin\theta}{\rho^2 cos^4\theta +sin^2\theta} $ e mostro poi che $|a(\rho,\theta| <= "cost", \AA \theta $, bhé allora ho terminato perché quella quantità andrebbe a zero per $\rho \to 0^+$
Ditemi se ho sbagliato qualcosa (molto probabile data l'orario e la stanchezza):
$|a| = |cos^2\theta sin\theta|/|\rho^2cos^4\theta +sin^2\theta| <= (|cos^2\theta ||sin\theta|)/(\rho^2|cos^4\theta| +|sin^2\theta| ) <= 1/ (\rho^2 +1) ("per "\rho \to 0^+) <=1 = "cost"$
E dunque il limite dovrebbe tendere a zero per quanto detto sopra
Grazie a chi risponderà
Volevo chiedere innanzitutto se questo procedimento è corretto (sappiamo già che il limite non esiste però la professoressa ha detto di provare a svolgerlo in coordinate polari per esercizio):
$\lim_{(x,y)\ to \vec 0} \frac{x^2y}{x^4+y^2}$
Fatta la trasformazione in coordinate polari arrivo a:
$\lim_{\rho \to 0^+} \rho \frac{cos^\theta sin\theta}{\rho^2 cos^4\theta +sin^2\theta}$
Adesso se ho capito bene la strategia, se chiamo $a(\rho,\theta) = \frac{cos^\theta sin\theta}{\rho^2 cos^4\theta +sin^2\theta} $ e mostro poi che $|a(\rho,\theta| <= "cost", \AA \theta $, bhé allora ho terminato perché quella quantità andrebbe a zero per $\rho \to 0^+$
Ditemi se ho sbagliato qualcosa (molto probabile data l'orario e la stanchezza):
$|a| = |cos^2\theta sin\theta|/|\rho^2cos^4\theta +sin^2\theta| <= (|cos^2\theta ||sin\theta|)/(\rho^2|cos^4\theta| +|sin^2\theta| ) <= 1/ (\rho^2 +1) ("per "\rho \to 0^+) <=1 = "cost"$
E dunque il limite dovrebbe tendere a zero per quanto detto sopra
Grazie a chi risponderà
Risposte
Ciao SteezyMenchi,
Il concetto di base è che se il risultato del limite dipende dalla direzione scelta (quindi da $\theta$ nel caso delle coordinate polari) e non si riesce ad eliminare tale dipendenza con opportune maggiorazioni, allora il limite non esiste. Attenzione che nelle maggiorazioni che hai fatto ci sono degli errori: mi potrebbe anche stare bene quando maggiori le funzioni trigonometriche in modulo con $1$ quando esse si trovano al numeratore della frazione, ma non quando si trovano al denominatore...
Comunque in effetti il limite proposto non esiste e lo si può vedere meglio senza le coordinate polari, considerando $y = ax^2$:
$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4+y^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 ax^2}{x^4+a^2 x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{1 + a^2} $
Dato che il risultato del limite proposto dipende solo dalla scelta di $a$, ne consegue che il limite proposto non esiste.
Il concetto di base è che se il risultato del limite dipende dalla direzione scelta (quindi da $\theta$ nel caso delle coordinate polari) e non si riesce ad eliminare tale dipendenza con opportune maggiorazioni, allora il limite non esiste. Attenzione che nelle maggiorazioni che hai fatto ci sono degli errori: mi potrebbe anche stare bene quando maggiori le funzioni trigonometriche in modulo con $1$ quando esse si trovano al numeratore della frazione, ma non quando si trovano al denominatore...
Comunque in effetti il limite proposto non esiste e lo si può vedere meglio senza le coordinate polari, considerando $y = ax^2$:
$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4+y^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 ax^2}{x^4+a^2 x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{1 + a^2} $
Dato che il risultato del limite proposto dipende solo dalla scelta di $a$, ne consegue che il limite proposto non esiste.
Sì avevamo fatto in classe l'esempio di un limite che non esistesse. Però per esercitarci la professoressa ha detto di provare a svolgerlo in coordinate polari (sapendo a priori che non esiste). Oggi ho parlato con la professoressa della mia soluzione: hai ragione Pillo, ho sbagliato le maggiorazioni a denominatore: tuttavia la professoressa mi ha informato che è impossibile che il termine $|a(\rho,\theta)|$ sia minore di una costante. La prof infatti mi ha detto di sostituire per esempio $sin\theta = \rhocos^2\theta$ ottenendo quindi se non ricordo male (sto andando a memoria senza quaderno)$\lim_{\rho \to 0^+} \frac{1}{2\rho}$
Sì avevamo fatto in classe l'esempio di un limite che non esistesse. Però per esercitarci la professoressa ha detto di provare a svolgerlo in coordinate polari (sapendo a priori che non esiste). Oggi ho parlato con la professoressa della mia soluzione (non ho controllato se il messaggio avesse risposte sul forum): hai ragione Pillo, ho sbagliato le maggiorazioni a denominatore: tuttavia la professoressa mi ha informato che è impossibile che il termine $|a(\rho,\theta)|$ sia minore di una costante. La prof infatti mi ha detto di sostituire per esempio $sin\theta = \rhocos^2\theta$ ottenendo quindi se non ricordo male un'espressione in cui non compare $\theta$ (sto andando a memoria e sono senza quaderno quindi potrei aver sbagliato qualcosa però il concetto è quello)$\lim_{\rho \to 0^+} \frac{1}{2\rho}$ che effettivamente fa esplodere il termine $a(\rho,\theta) \to +\infty$. Da quanto ho capito è impossibile "limitare" il termine $a$ e dunque come hai correttamente affermato anche tu Pillo il limite non esiste. Tuttavia mi sono accorto solo dopo che la mia maggiorazione del denominatore era "dall'alto" come per il numeratore e dunque errata. Non me ne ero proprio accorto e non avevo pensato al fatto che il denominatore potesse andare a zero 
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