Limiti in due variabili
Salve ragazzi, sto affrontando per la prima volta i limiti di funzioni in due variabili e mi sono imbattuto in tre limiti che non riesco proprio a risolvere e sono:
${(lim_{(x,y)\to\(0,0)}(xy^2)/(x^4+y^2)), (lim_{(x,y)\to\(0,0)}(x^3y)/(x^4+y^2)), (lim_{(x,y)\to\(0,0)}(xy)/(|x|+y^2)):}$
vi spiego a gradi linee cosa ho fatto in ciascuno dei tre: ho effettuato la restrizione a delle curve (ad esempio nel primo limite ho scelto $y=x, y=x^2$) verificando che $f(x,x) vv f(x,x^2)$ (nel caso del primo limite, poi negli altri due ho fatto un ragionamento analogo) mi tendevano a 0 per $x rarr 0$ e quindi sono passato a dimostrare che se il limite esiste, questo deve essere necessariamente $0$ per unicità del limite.
Nel primo limite ho scritto:
$1)$ $|(xy^2)/(x^4+y^2)| <= |(1/2)(x^2+y^4)/(x^4+y^2)|$ poi qui mi sono bloccato perché non sono riuscito a trovare un'ulteriore maggiorazione o un altra via da intraprendere (anche passando alle coordinate polari non riuscivo a proseguire.
$2)$ usando il fatto che $|xy|<=1/2 (x^2+y^2)$ mi sono scritto la seguente maggiorazione:
$|f(x,y)|=(|x||x^2y|/|x^4+y^2|)<=|x|1/2(x^4+y^2)/(x^4+y^2)|=1/2(|x|) rArr lim_((x,y)->(0,0)) (|x|)=0$ e quindi ho concluso (erroneamente a quanto pare, ma non capisco il perché) che il limite di partenza tende a 0.
Il terzo limite l'ho svolto in una maniera che non saprei se è corretta: dopo aver verificato il limite sulle rette sono andato a dimostrare che effettivamente il valore ottenuto fosse il valore limite (ho ottenuto 0 restringendomi a due curve, come nei precedenti casi) ed ho scritto:
$|f(x,y)|<=1/2(x^2+y^2)/(|x|+y^2)= 1/2x^2/(|x|+y^2) +1/2y^2/(|x|+y^2)<= 1/2(x^2/|x|)+1/2y^2/y^2$ verificando che il primo mi tendeva a 0 mentre il secondo a $1/2$, e dunque ho concluso che il limite di partenza non esisteva.
(nell'ultimo limite ho usato prima la seguente disuguaglianza $|xy|<=1/2 (x^2+y^2)$ e nella disuguaglianza finale ho usato il fatto che se $a,b,c>=0 rArr a/(b+c)<=a/b$ in quanto $b+c>=b$).
Ringrazio chiunque mi aiuterà
${(lim_{(x,y)\to\(0,0)}(xy^2)/(x^4+y^2)), (lim_{(x,y)\to\(0,0)}(x^3y)/(x^4+y^2)), (lim_{(x,y)\to\(0,0)}(xy)/(|x|+y^2)):}$
vi spiego a gradi linee cosa ho fatto in ciascuno dei tre: ho effettuato la restrizione a delle curve (ad esempio nel primo limite ho scelto $y=x, y=x^2$) verificando che $f(x,x) vv f(x,x^2)$ (nel caso del primo limite, poi negli altri due ho fatto un ragionamento analogo) mi tendevano a 0 per $x rarr 0$ e quindi sono passato a dimostrare che se il limite esiste, questo deve essere necessariamente $0$ per unicità del limite.
Nel primo limite ho scritto:
$1)$ $|(xy^2)/(x^4+y^2)| <= |(1/2)(x^2+y^4)/(x^4+y^2)|$ poi qui mi sono bloccato perché non sono riuscito a trovare un'ulteriore maggiorazione o un altra via da intraprendere (anche passando alle coordinate polari non riuscivo a proseguire.
$2)$ usando il fatto che $|xy|<=1/2 (x^2+y^2)$ mi sono scritto la seguente maggiorazione:
$|f(x,y)|=(|x||x^2y|/|x^4+y^2|)<=|x|1/2(x^4+y^2)/(x^4+y^2)|=1/2(|x|) rArr lim_((x,y)->(0,0)) (|x|)=0$ e quindi ho concluso (erroneamente a quanto pare, ma non capisco il perché) che il limite di partenza tende a 0.
Il terzo limite l'ho svolto in una maniera che non saprei se è corretta: dopo aver verificato il limite sulle rette sono andato a dimostrare che effettivamente il valore ottenuto fosse il valore limite (ho ottenuto 0 restringendomi a due curve, come nei precedenti casi) ed ho scritto:
$|f(x,y)|<=1/2(x^2+y^2)/(|x|+y^2)= 1/2x^2/(|x|+y^2) +1/2y^2/(|x|+y^2)<= 1/2(x^2/|x|)+1/2y^2/y^2$ verificando che il primo mi tendeva a 0 mentre il secondo a $1/2$, e dunque ho concluso che il limite di partenza non esisteva.
(nell'ultimo limite ho usato prima la seguente disuguaglianza $|xy|<=1/2 (x^2+y^2)$ e nella disuguaglianza finale ho usato il fatto che se $a,b,c>=0 rArr a/(b+c)<=a/b$ in quanto $b+c>=b$).
Ringrazio chiunque mi aiuterà
Risposte
Ciao!
Consiglio per il primo limite: $\frac{1}{x^4+y^2} \leq \frac{1}{y^2}$.
Il secondo mi sembra corretto, perché dici erroneamente? Non ti trovi con le soluzioni?
Il terzo non è corretto, così facendo hai solo dimostrato che se il limite esiste appartiene all'intervallo $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$; tuttavia il candidato per il limite (sempre se esiste) è $0$, che appartiene a tale intervallo e dunque non puoi concludere nulla.
Consiglio per il primo limite: $\frac{1}{x^4+y^2} \leq \frac{1}{y^2}$.
Il secondo mi sembra corretto, perché dici erroneamente? Non ti trovi con le soluzioni?
Il terzo non è corretto, così facendo hai solo dimostrato che se il limite esiste appartiene all'intervallo $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$; tuttavia il candidato per il limite (sempre se esiste) è $0$, che appartiene a tale intervallo e dunque non puoi concludere nulla.
"Mephlip":
Ciao!
Consiglio per il primo limite: $\frac{1}{x^4+y^2} \leq \frac{1}{y^2}$.
Il secondo mi sembra corretto, perché dici erroneamente? Non ti trovi con le soluzioni?
Il terzo non è corretto, così facendo hai solo dimostrato che se il limite esiste appartiene all'intervallo $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$; tuttavia il candidato per il limite (sempre se esiste) è $0$, che appartiene a tale intervallo e dunque non puoi concludere nulla.
Per il secondo in realtà io ero piuttosto convinto, solo che guardando la soluzione mi diceva che il limite non esiste (che sia sbagliata la soluzione?).
Per quanto riguarda il primo ti potrei chiedere quale ragionamento hai seguito per dire che $\frac{1}{x^4+y^2} \leq \frac{1}{y^2}$?
Hai che $x^4 \geq 0$, perciò $x^4+y^2 \geq y^2$ quindi, passando ai reciproci perché è tutto positivo, hai che $\frac{1}[x^4+y^2} \leq \frac{1}{y^2}$.
Per la soluzione del secondo non saprei, ad occhio mi sembra corretto; ci ragiono un po' di più su e ti dico se trovo qualcosa che non torna!
Per la soluzione del secondo non saprei, ad occhio mi sembra corretto; ci ragiono un po' di più su e ti dico se trovo qualcosa che non torna!
"Mephlip":
Hai che $x^4 \geq 0$, perciò $x^4+y^2 \geq y^2$ quindi, passando ai reciproci perché è tutto positivo, hai che $\frac{1}[x^4+y^2} \leq \frac{1}{y^2}$.
Per la soluzione del secondo non saprei, ad occhio mi sembra corretto; ci ragiono un po' di più su e ti dico se trovo qualcosa che non torna!
Grazie mille per la disponibilità , sei di molto aiuto
@Cristino: Continuo a pensare tuttora che il tuo ragionamento sul limite (2) sia corretto!
Hai risolto per il terzo?
P.S.: Per rispondere basta premere "risposta rapida" sotto al post, non c'è bisogno di citare tutto (a meno che tu non voglia evidenziare qualche punto particolare della risposta).
Hai risolto per il terzo?
P.S.: Per rispondere basta premere "risposta rapida" sotto al post, non c'è bisogno di citare tutto (a meno che tu non voglia evidenziare qualche punto particolare della risposta).
Per il terzo non sono riuscito a cavarci le gambe, purtroppo, non riesco a trovare un modo per risolverlo 
Per il secondo non so che pensare, anche a me sembrava sensato e corretto il ragionamento fatto, magari è veramente un errore di stampa, non saprei
Per il secondo non so che pensare, anche a me sembrava sensato e corretto il ragionamento fatto, magari è veramente un errore di stampa, non saprei
Per il terzo potresti osservare che, con gli stessi ragionamenti fatti per il primo limite, risulta $|\frac{xy}{|x|+y^2}|=\frac{|xy|}{|x|+y^2} \leq \frac{|xy|}{|x|}=|\frac{xy}{x}|=|y|$.
Ciao! Passa alle coordinate polari con tutti e tre e scrivi cosa ti viene fuori.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo