Limiti in due variabili

[zio_mangrovia]

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} x^(xy)$

ho provato a calcolarlo e ottengo in un caso $\lim_{(x,y) \to (x,0)} x^(xy)=x^(x*0)$ ed immagino che il valore sia $1$
mentre per $\lim_{(x,y) \to (0,y)} x^(xy)=0^(0*y)$ e torna $0^0$ quindi forma indeterminata,
sono sufficienti questi due passaggi per dire che il limite non esiste?

[dissonance]

Ovviamente no. Devi risolvere quella forma indeterminata. Dire solo "è una forma indeterminata" non serve a niente.

[zio_mangrovia]

"dissonance":Ovviamente no. Devi risolvere quella forma indeterminata. Dire solo "è una forma indeterminata" non serve a niente.

Ah ok, quindi $lim_{x \to (0,y)}x^(xy)=e^(xylog(x))=e^(y0log(0))$ dove $xlog(x)$ tende a zero per cui tutto l'esponente tende a $0$ e quindi il limite fa $1$, corretto?

[zio_mangrovia]

"dissonance":Ovviamente no. Devi risolvere quella forma indeterminata. Dire solo "è una forma indeterminata" non serve a niente.

Mi chiedo... per la risoluzioni dei limiti in due variabili il trucchetto di fissare una delle due variabili a zero $0$, oppure far tendere $(x,y)->(x,x)$ oppure a $->(x,x^2)$ oppure a $->(x,mx)$ (dette restrizioni) non è detto che funzioni sempre, Giusto?
Mi spiego meglio: se applico queste tecniche e, so che il limite non esiste, è bassissima la probabilità che trovi sempre lo stesso valore del limite ?

[dissonance]

Qui c'è una discussione proprio su questo argomento:
https://math.stackexchange.com/q/1659520/8157

La probabilità non è "bassissima", perché esistono funzioni per cui trovi sempre lo stesso valore lungo "moltissime" restrizioni eppure il limite non esiste. Nell'esempio, c'è una funzione tale che il limite lungo tutte le restrizioni polinomiali fa \(0\) (ovvero, \(\lim_{x\to 0} f(x, P(x))=0\) per ogni polinomio \(P\)) eppure il limite non esiste.

Conclusione: non puoi mai fidarti delle restrizioni. Se calcoli centomila restrizioni e trovi lo stesso limite, comunque potrebbe essere che il limite non esiste.