Limiti in due variabili

[Pinturicchio10]

Ciao a tutti, volevo chiedervi un chiarimento circa i limiti in due variabili. Meditavo sulla condizione necessaria per l'esistenza di un limite, cioè che su tutte le possibili restrizioni il limite assuma lo stesso valore. Quello che mi chiedevo è: perchè non vale il viceversa? E poi: se per risolvere un limite dimostro che in due restrizioni, che sono complementari rispetto al dominio della funzione, il limite assume lo stesso valore, posso concludere che quel limite esiste e vale quel valore (magari perchè il numero di restrizione è finito e quindi scelgo l'intorno del punto di accumulazione più piccolo)?

Poi un dubbio su un esempio pratico:
se ho lim per (x,y) --> (0,0) di $ xy $, su internet dice che fa 0. Però se prendo la restrizione $ y= 1/x $ (x diverso da 0) vale 1? Dove sbaglio?
Grazie per l'aiuto.

[marco.ve1]

$(x, 1/x)$ non tende a $(0,0)$ se $x \to 0$ (o a qualsiasi altra cosa).

[Pinturicchio10]

Forse ripensandoci, il mio errore sta nel fatto che y= 1/x non ammette (0,0) come punto di accumulazione e quindi la condizione necessaria sulle restrizione non può essere applicato. Comunque io non ho fatto un cambio di variabile, quindi non so se funziona quello che dici tu.
Sul primo dubbio sapresti aiutarmi?