Limiti in due variabili

[IgnoranteDaSchifo]

Salve ragazzi, gentilmente volevo sapere se le maggiorazioni che ho applicato sono lecite.
I limiti sono 3,tutti per $(x,y)->(0,0)$ e con risultato $0$.

La prima maggiorazione è:
$|(x^4y+3x^4y^3)/(x^2+y^2)^2|=(|x^3||xy|+3|xy||xy||y|)/(x^2+y^2)^2 <= (1/2|x^3|)/(x^2+y^2) +3/4|y| <= 1/2|x|+3/4|y| ->0 $
ho usato la maggiorazione $|xy|<=1/2(x^2+y^2)$ e $|x^3|<=|x|(x^2+y^2)$.

La seconda è:
$|(x^5-x^3y^2)/(x^2+y^2)^2|=| (|x^5|)/(x^2+y^2)^2-(|xy||xy||x|)/(x^2+y^2)^2| <= | (|x| -1/4 |x|)| ->0$
ho usato la precedente maggiorazione e $|x^5|<=|x|(x^2+y^2)^2$

Infine il terzo dubbio è sulla maggiorazione $ (|x|)^3=(sqrt(x^2))^3<=(sqrt(3x^2+5y^2))^3=(3x^2+5y^2)^(3/2)$.
Grazie.

[phaerrax]

"IgnoranteDaSchifo":
La prima maggiorazione è:
$|(x^4y+3x^4y^3)/(x^2+y^2)^2|=(|x^3||xy|+3|xy||xy||y|)/(x^2+y^2)^2 <= (1/2|x^3|)/(x^2+y^2) +3/4|y| <= 1/2|x|+3/4|y| ->0 $
ho usato la maggiorazione $ |xy|<=1/2(x^2+y^2) $ e $ |x^3|<=|x|(x^2+y^2) $.

Hai perso un $x^2$ nel numeratore alla prima uguaglianza (che dovrebbe tra l'altro essere una disuguaglianza), ma non cambia molto:
$|\frac{x^4y+3x^4y^3}{(x^2+y^2)^2}| \le \frac{|x^3||xy|+3x^2|xy||xy||y|}{(x^2+y^2)^2} \le \frac{\frac{1}{2}|x^3|}{x^2+y^2}+\frac{3}{4}x^2|y| \le \frac{1}{2}|x|+\frac{3}{4}x^2|y| \to 0$.

"IgnoranteDaSchifo":
La seconda è:
$ |(x^5-x^3y^2)/(x^2+y^2)^2|=| (|x^5|)/(x^2+y^2)^2-(|xy||xy||x|)/(x^2+y^2)^2| <= | (|x| -1/4 |x|)| ->0 $
ho usato la precedente maggiorazione e $ |x^5|<=|x|(x^2+y^2)^2$

Qui hai scritto nella prima uguaglianza che \(|a-b|=| |a|-|b| |\) che non solo è sbagliata, ma addirittura dovrebbe essere \(|a-b|\ge| |a|-|b| |\) quindi proprio non ci sta.
Prova invece con la classica disuguaglianza triangolare.

"IgnoranteDaSchifo":
Infine il terzo dubbio è sulla maggiorazione $ (|x|)^3=(sqrt(x^2))^3<=(sqrt(3x^2+5y^2))^3=(3x^2+5y^2)^(3/2) $.

Questa mi sembra piuttosto ovvia, è corretta.