Limiti funzioni di due variabili
Ciao a tutti!
Apro questo topic in particolare per le tecniche da utilizzare per il calcolo di questi piccoli mostriciattoli.
Elenco in primis ciò che conosco ed ho appreso:
E' più facile dimostrare la non esistenza di un limite in due variabili piuttosto che la sua esistenza, attraverso alcuni modi:
1) Calcolare il limite in una variabile sola alla volta ponendo rispettivamente uno dei due assi nullo, del tipo:
$ lim_(x->x_0)f(x,0) $ e $ lim_(y->y_0)f(0,y) $. Se i due limiti non coincidono posso immediatamente dire che il limite in due variabili non esiste, altrimenti che potrebbe esistere.
2) Calcolare il limite in una variabile sola con l'utilizzo delle restrizioni, come ad esempio di una retta del tipo $ y=mx $: $ lim_(x->x_0)f(x,mx) $
Se il limite in questione dipende dalla variabile $ m $ allora non esiste, mentre se converge potrebbe esistere.
Oppure ad occhio utilizzare restrizioni come parabole e via dicendo.
3) Avendo svolto i due passaggi precedenti: se i risultati al punto 1 e 2 non coincidono allora non esiste il limite in due variabili, mentre se coincidono potrebbe esistere.
4) Si suppone che il limite esista e che tenda ad un valore finito $ l $, concorde con i risultati trovati prima.
Si può procedere nei seguenti modi:
- Fissando un numero \( \varepsilon >0 \) è possibile determinare \( \delta >0 \) tale che, per tutti i punti di un insieme \( A\subseteq \Re ^2 \) diversi da \( P_0(x_0,y_0) \) ed appartenenti all'intorno circolare di centro \( P_0 \) e raggio \( \delta \) si verifichi:
\( |f(P)-l|<\varepsilon \)
- Trovare una funzione $ h(x,y) $ che dipenda da una variabile sola, tale che $ |f(x,y)-l|<=h(x,y) $ e che
$ lim_((x,y)->(x_0,y_0))h(x,y)=0 $ , allora $ lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l $
- Passare in coordinate polari e trovare una funzione $ g(rho ) $ dipendente solamente da $ rho $ tale che
$ |f(x_0+rhocosvartheta , y_0+rhosinvartheta)-l|<=g(rho) $ e se $ lim_(rho->0) g(rho)=0 $ , allora $ lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l $
Ho fatto esercizi e finchè si tratta di dimostrare la non esistenza del limite va tutto bene, mentre quando si tratta di applicare i criteri che ho scritto al punto 4 vado nel pallone, in particolare perchè non capisco come riuscire a maggiorare la funzione... Ci sono tecniche specifiche e/o consigli/trucchetti che potete condividere per potermi aiutare?
Posso anche provare a commentare qualche esempio con voi. Grazie mille in anticipo per l'aiuto!
Apro questo topic in particolare per le tecniche da utilizzare per il calcolo di questi piccoli mostriciattoli.
Elenco in primis ciò che conosco ed ho appreso:
E' più facile dimostrare la non esistenza di un limite in due variabili piuttosto che la sua esistenza, attraverso alcuni modi:
1) Calcolare il limite in una variabile sola alla volta ponendo rispettivamente uno dei due assi nullo, del tipo:
$ lim_(x->x_0)f(x,0) $ e $ lim_(y->y_0)f(0,y) $. Se i due limiti non coincidono posso immediatamente dire che il limite in due variabili non esiste, altrimenti che potrebbe esistere.
2) Calcolare il limite in una variabile sola con l'utilizzo delle restrizioni, come ad esempio di una retta del tipo $ y=mx $: $ lim_(x->x_0)f(x,mx) $
Se il limite in questione dipende dalla variabile $ m $ allora non esiste, mentre se converge potrebbe esistere.
Oppure ad occhio utilizzare restrizioni come parabole e via dicendo.
3) Avendo svolto i due passaggi precedenti: se i risultati al punto 1 e 2 non coincidono allora non esiste il limite in due variabili, mentre se coincidono potrebbe esistere.
4) Si suppone che il limite esista e che tenda ad un valore finito $ l $, concorde con i risultati trovati prima.
Si può procedere nei seguenti modi:
- Fissando un numero \( \varepsilon >0 \) è possibile determinare \( \delta >0 \) tale che, per tutti i punti di un insieme \( A\subseteq \Re ^2 \) diversi da \( P_0(x_0,y_0) \) ed appartenenti all'intorno circolare di centro \( P_0 \) e raggio \( \delta \) si verifichi:
\( |f(P)-l|<\varepsilon \)
- Trovare una funzione $ h(x,y) $ che dipenda da una variabile sola, tale che $ |f(x,y)-l|<=h(x,y) $ e che
$ lim_((x,y)->(x_0,y_0))h(x,y)=0 $ , allora $ lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l $
- Passare in coordinate polari e trovare una funzione $ g(rho ) $ dipendente solamente da $ rho $ tale che
$ |f(x_0+rhocosvartheta , y_0+rhosinvartheta)-l|<=g(rho) $ e se $ lim_(rho->0) g(rho)=0 $ , allora $ lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l $
Ho fatto esercizi e finchè si tratta di dimostrare la non esistenza del limite va tutto bene, mentre quando si tratta di applicare i criteri che ho scritto al punto 4 vado nel pallone, in particolare perchè non capisco come riuscire a maggiorare la funzione... Ci sono tecniche specifiche e/o consigli/trucchetti che potete condividere per potermi aiutare?
Posso anche provare a commentare qualche esempio con voi. Grazie mille in anticipo per l'aiuto!
Risposte
"fra_62":
- Trovare una funzione $ h(x,y) $ che dipenda da una variabile sola, tale che $ |f(x,y)-l|<=h(x,y) $ e che
$ lim_((x,y)->(x_0,y_0))h(x,y)=0 $ , allora $ lim_((x,y)->(x_0,y_0))f(x,y)=l $
Non è necessario che dipenda da una variabile sola (infatti per come l'hai scritta dipende da due variabili).
Se trovi una funzione in due variabili che ha limite zero e che maggiora la tua differenza allora sei a cavallo.
Penso sia il caso di commentare esempi specifici, perché il discorso è troppo vasto per essere affrontato in generale, infatti tutti i testi sull'argomento si fermano agli strumenti che hai citato tu (alcuni danno teoremi su funzioni particolari tipo quelle omogenee però secondo me non sono istruttivi e raramente sono applicabili agli esercizi).
Grazie per la risposta e sì, come hai detto, effettivamente la funzione \( h(x,y) \) dipende da due variabili, ma se nella maggiorazione mi riduco ad una sola credo sia più semplice giusto?
In ogni caso provo con un esempio di non esistenza del limite ed uno dove ho provato a dimostrare che esiste:
1) $ lim_((x,y)->(0,0))(x^3+2xy+y^3)/(x^2+y^2) $
Procedo ponendo gli assi a 0: $ lim_(x->0)f(x,0) = lim_(x->0)(x^3)/(x^2)=0 $ , e $ lim_(y->0)f(0,y) = lim_(y->0)y^3/y^2=0 $
I risultati coincidono, provo a restringere ad una retta $ y=mx $ :
$ lim_(x->0) f(x,mx)=lim_(x->0)(x^3+2mx^2+m^3x^3)/(x^2+m^2x^2)=lim_(x->0)(x^2(x+2m+m^3x))/(x^2(1+m^2)) =lim_(x->0)(x+2m+m^3x)/(1+m^2)=(2m)/(1+m^2)$ ,
si vede che il limite dipende da $ m $, si può concludere che non esiste.
2) $ lim_((x,y)->(0,0))(x+y)/root(4)(x^2+y^2) $
Senza stare a scrivere tutto, ottengo risultati concordi sia per l'annullamento degli assi che la restrizione alla retta $ y=mx $, in particolare danno tutti $0$. Sospetto che $0$ sia il mio candidato limite, provo a dimostrarlo il coordinate polari:
$ |(rhocosvartheta +rhosinvartheta)/sqrtrho|<= (rho|cosvartheta|+rho|sinvartheta|)/sqrtrho <=(rho+rho)/sqrtrho=(2rho)/sqrtrho=2sqrtrho $ , e chiaramente, per $ rho->0 $ , si ha che
$ 2sqrtrho->0 $.
Ho dimostrato cosi l'esistenza del limite, ma non sono affatto sicuro delle disuguaglianze con i moduli, non mi è molto chiaro in base a cosa posso maggiorare (e immagino siano delle cavolate).
Già ad esempio con le altre due tecniche che ho elencato nel primo post non saprei come rigirarmi, del tipo:
$ |(x+y)/root(4)(x^2+y^2)|<= (|x|+|y|)/root(4)(x^2+y^2)<= ??? $ , potreste darmi qualche dritta su come comportarmi?
Grazie ancora|
In ogni caso provo con un esempio di non esistenza del limite ed uno dove ho provato a dimostrare che esiste:
1) $ lim_((x,y)->(0,0))(x^3+2xy+y^3)/(x^2+y^2) $
Procedo ponendo gli assi a 0: $ lim_(x->0)f(x,0) = lim_(x->0)(x^3)/(x^2)=0 $ , e $ lim_(y->0)f(0,y) = lim_(y->0)y^3/y^2=0 $
I risultati coincidono, provo a restringere ad una retta $ y=mx $ :
$ lim_(x->0) f(x,mx)=lim_(x->0)(x^3+2mx^2+m^3x^3)/(x^2+m^2x^2)=lim_(x->0)(x^2(x+2m+m^3x))/(x^2(1+m^2)) =lim_(x->0)(x+2m+m^3x)/(1+m^2)=(2m)/(1+m^2)$ ,
si vede che il limite dipende da $ m $, si può concludere che non esiste.
2) $ lim_((x,y)->(0,0))(x+y)/root(4)(x^2+y^2) $
Senza stare a scrivere tutto, ottengo risultati concordi sia per l'annullamento degli assi che la restrizione alla retta $ y=mx $, in particolare danno tutti $0$. Sospetto che $0$ sia il mio candidato limite, provo a dimostrarlo il coordinate polari:
$ |(rhocosvartheta +rhosinvartheta)/sqrtrho|<= (rho|cosvartheta|+rho|sinvartheta|)/sqrtrho <=(rho+rho)/sqrtrho=(2rho)/sqrtrho=2sqrtrho $ , e chiaramente, per $ rho->0 $ , si ha che
$ 2sqrtrho->0 $.
Ho dimostrato cosi l'esistenza del limite, ma non sono affatto sicuro delle disuguaglianze con i moduli, non mi è molto chiaro in base a cosa posso maggiorare (e immagino siano delle cavolate).
Già ad esempio con le altre due tecniche che ho elencato nel primo post non saprei come rigirarmi, del tipo:
$ |(x+y)/root(4)(x^2+y^2)|<= (|x|+|y|)/root(4)(x^2+y^2)<= ??? $ , potreste darmi qualche dritta su come comportarmi?
Grazie ancora|
Beh in linea di principio si, ma succede solo di rado.
Allora per il primo esempio non c'è nulla da dire.
Per il secondo, è corretto.
Se ora volessi risolverlo senza passare a coordinate polari è semplicissimo.
Allora tu hai ottenuto
$$
\frac{|x|+|y|}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}=\frac{|x|}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}+\frac{|y|}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}
$$
Arrivati a questo punto ti è sufficiente notare che $x^2+y^2\geq x^2$ quindi $\frac{1}{x^2+y^2}\leq\frac{1}{x^2}$ adesso poiché le quantità a destra e sinistra sono entrambe sempre positive allora posso mettere sotto radice pari a destra e sinistra, e senza alterare il verso della disuguaglianza ottenendo $$\frac{1}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}\leq\frac{1}{\sqrt[4]{x^2}}=\frac{1}{\sqrt{|x|}}$$ lo stesso ragionamento vale per $y$ quindi applico le due disuguaglianze trovate ottenendo che
$$
\frac{|x|}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}+\frac{|y|}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}\leq\frac{|x|}{\sqrt{|x|}}+\frac{|y|}{\sqrt{|y|}}=\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}
$$
La quale è chiaramente una funzione che tende a zero per $(x,y)\to (0,0)$ quindi hai trovato la tua $h(x,y)=\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}$ .
Se vuoi puoi maneggiare ulteriormente quest ultima funzione per dimostrare che essa tende veramente a zero e lo fai utilizzando il primo criterio.
Cioè cerchi di maggiorare questa espressione con una qualunque norma, se ci riesci hai applicato senza accorgertene la definizione di limite perché, per definizione $||(x,y)-(0,0)||<\delta$ indipendentemente dalla norma scelta.
Anche se in questo caso è inutile, perché puoi riscrivere $h(x,y)=g(x,y)+f(x,y)$ dove $g(x,y)=\sqrt{|x|}$ e $f(x,y)=\sqrt{|y|}$ le quali sono due funzioni continue, e per le proprietà dei limiti, la somma di funzioni continue è ancora una funzione continua, quindi il limite nell'origine è nullo, poiché coincide col valore della funzione nell'origine.
Allora per il primo esempio non c'è nulla da dire.
Per il secondo, è corretto.
Se ora volessi risolverlo senza passare a coordinate polari è semplicissimo.
Allora tu hai ottenuto
$$
\frac{|x|+|y|}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}=\frac{|x|}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}+\frac{|y|}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}
$$
Arrivati a questo punto ti è sufficiente notare che $x^2+y^2\geq x^2$ quindi $\frac{1}{x^2+y^2}\leq\frac{1}{x^2}$ adesso poiché le quantità a destra e sinistra sono entrambe sempre positive allora posso mettere sotto radice pari a destra e sinistra, e senza alterare il verso della disuguaglianza ottenendo $$\frac{1}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}\leq\frac{1}{\sqrt[4]{x^2}}=\frac{1}{\sqrt{|x|}}$$ lo stesso ragionamento vale per $y$ quindi applico le due disuguaglianze trovate ottenendo che
$$
\frac{|x|}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}+\frac{|y|}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}\leq\frac{|x|}{\sqrt{|x|}}+\frac{|y|}{\sqrt{|y|}}=\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}
$$
La quale è chiaramente una funzione che tende a zero per $(x,y)\to (0,0)$ quindi hai trovato la tua $h(x,y)=\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}$ .
Se vuoi puoi maneggiare ulteriormente quest ultima funzione per dimostrare che essa tende veramente a zero e lo fai utilizzando il primo criterio.
Cioè cerchi di maggiorare questa espressione con una qualunque norma, se ci riesci hai applicato senza accorgertene la definizione di limite perché, per definizione $||(x,y)-(0,0)||<\delta$ indipendentemente dalla norma scelta.
Anche se in questo caso è inutile, perché puoi riscrivere $h(x,y)=g(x,y)+f(x,y)$ dove $g(x,y)=\sqrt{|x|}$ e $f(x,y)=\sqrt{|y|}$ le quali sono due funzioni continue, e per le proprietà dei limiti, la somma di funzioni continue è ancora una funzione continua, quindi il limite nell'origine è nullo, poiché coincide col valore della funzione nell'origine.
Grazie ancora per la risposta Bossmer, non avevo proprio pensato ad una maggiorazione del genere! 
Volevo sottoporre ancora qualche domanda:
1) $ f(x,y)=(x^3y)/((x^4+y^2)sqrt(x^2+y^2) $
Restringendo agli assi $ x=0$ e $ y=0$ trovo come risultato $ 0$ , provo a verificare se è davvero $ 0$ il risultato del limite passando in coordinate polari:
$ |(rho^4cos^3varthetasinvartheta)/(rho^5cos^4vartheta+rho^3sin^2vartheta)| <=rho^4/(rho^5+rho^3)=rho/(1+rho^2)->0 $ per $ rho->0 $ , Quindi potrei concludere dicendo che il limite
esiste e vale proprio $ 0$.
Però, visto che l'esercizio era svolto fortunatamente, noto che restringendo ad una parabola del tipo $ y=x^2 $ si ha
$ lim_((x,y)->(0,0))x^5/(2x^4sqrt(x^4+x^2))=lim_((x,y)->(0,0))x/(2|x|sqrt(1+x^2)) $ , che non esiste per colpa di $|x|$ che mi rende il risultato $1/2 $ oppure $-1/2 $.
Pertanto posso concludere che il limite NON esiste.
Il problema è che con la dimostrazione in coordinate polari mi sembrava palese la convergenza, mentre invece in una direzione parabolica non si verifica... Ho utilizzato anche Wolfram per verificare la convergenza ed il calcolatore riporta che il limite esiste, mentre per via di $y=x^2 $ chiaramente no.
Come posso evitare questi "tranelli"? Ho sbagliato qualcosa nel passaggio in coordinate polari?
Grazie ancora!
p.s. Ho provato anche a maggiorare la funzione normale in questo modo:
$ |(x^3y)/((x^4+y^2)sqrt(x^2+y^2))|<=(|x^3||y|)/((x^4+y^2)|y|)= |x^3|/(x^4+y^2)<=1/2 !=0 $
E' corretta come maggiorazione? Risulta oltretutto come la restrizione alla parabola. Grazie ancora
Volevo sottoporre ancora qualche domanda:
1) $ f(x,y)=(x^3y)/((x^4+y^2)sqrt(x^2+y^2) $
Restringendo agli assi $ x=0$ e $ y=0$ trovo come risultato $ 0$ , provo a verificare se è davvero $ 0$ il risultato del limite passando in coordinate polari:
$ |(rho^4cos^3varthetasinvartheta)/(rho^5cos^4vartheta+rho^3sin^2vartheta)| <=rho^4/(rho^5+rho^3)=rho/(1+rho^2)->0 $ per $ rho->0 $ , Quindi potrei concludere dicendo che il limite
esiste e vale proprio $ 0$.
Però, visto che l'esercizio era svolto fortunatamente, noto che restringendo ad una parabola del tipo $ y=x^2 $ si ha
$ lim_((x,y)->(0,0))x^5/(2x^4sqrt(x^4+x^2))=lim_((x,y)->(0,0))x/(2|x|sqrt(1+x^2)) $ , che non esiste per colpa di $|x|$ che mi rende il risultato $1/2 $ oppure $-1/2 $.
Pertanto posso concludere che il limite NON esiste.
Il problema è che con la dimostrazione in coordinate polari mi sembrava palese la convergenza, mentre invece in una direzione parabolica non si verifica... Ho utilizzato anche Wolfram per verificare la convergenza ed il calcolatore riporta che il limite esiste, mentre per via di $y=x^2 $ chiaramente no.
Come posso evitare questi "tranelli"? Ho sbagliato qualcosa nel passaggio in coordinate polari?
Grazie ancora!
p.s. Ho provato anche a maggiorare la funzione normale in questo modo:
$ |(x^3y)/((x^4+y^2)sqrt(x^2+y^2))|<=(|x^3||y|)/((x^4+y^2)|y|)= |x^3|/(x^4+y^2)<=1/2 !=0 $
E' corretta come maggiorazione? Risulta oltretutto come la restrizione alla parabola. Grazie ancora
Quel limite chiamerebbe il telefono azzurro per violenze contro ogni limite se solo potesse!!
Allora il limite non esiste, come giustamente fa notare il tuo libro. L'orrore sta nella maggiorazione che hai fatto dopo essere passato a coordinate polari. Per fartela notare ti chiedo solo di dirmi se secondo te è vero che ad esempio $\frac{1}{|\cos\theta|}\leq 1$ ?
Allora il limite non esiste, come giustamente fa notare il tuo libro. L'orrore sta nella maggiorazione che hai fatto dopo essere passato a coordinate polari. Per fartela notare ti chiedo solo di dirmi se secondo te è vero che ad esempio $\frac{1}{|\cos\theta|}\leq 1$ ?
"Bossmer":
Quel limite chiamerebbe il telefono azzurro per violenze contro ogni limite se solo potesse!!
Muoio! xD
"Bossmer":
Per fartela notare ti chiedo solo di dirmi se secondo te è vero che ad esempio $\frac{1}{|\cos\theta|}\leq 1$ ?
No, assolutamente no.
Allora ricapitolando, perchè non credo di esserci ancora arrivato:
$ f(x,y)=(x^3y)/((x^4+y^2)sqrt(x^2+y^2) $
In coordinate polari: $ |(rho^4cos^3varthetasinvartheta)/((rho^4cos^4vartheta+rho^2sin^2vartheta)rho)|= |(rho^3cos^3varthetasinvartheta)/((rho^4cos^4vartheta+rho^2sin^2vartheta))|=|(rhocos^3varthetasinvartheta)/((rho^2cos^4vartheta+sin^2vartheta))|$
Fin qui è corretto? Son sicuro che mi perdo in un bicchier d'acqua!
Devo puntare l'attenzione su $|1/((rho^2cos^4vartheta+sin^2vartheta))|$ giusto?
Per quanto riguarda questa invece?
$ |(x^3y)/((x^4+y^2)sqrt(x^2+y^2))|<=(|x^3||y|)/((x^4+y^2)|y|)= |x^3|/(x^4+y^2)<=|1/2| !=0 $
Non devi puntare l'attenzione su nessuno XD
Allora sei arrivato correttamente a
$$
\left|\frac{\rho\cos^3\theta\sin\theta}{\rho^2\cos^4\theta+\sin^2\theta}\right|=\frac{|\rho||\cos^3\theta||\sin\theta|}{\left|\rho^2\cos^4\theta+\sin^2\theta\right|}
$$
E fin qui ci siamo, non abbiamo ancora maggiorato nessuno, adesso l'unica disuguaglianza che sai sulle funzioni trigonometriche è dovuta alla limitatezza, ovvero $|\cos\theta|\leq 1$ e $|\sin\theta|\leq 1$ fine.
Quindi puoi applicare questa disuguaglianza ovunque possibile ottenendo che
$$
\frac{|\rho||\cos^3\theta||\sin\theta|}{\left|\rho^2\cos^4\theta+\sin^2\theta\right|}\leq\frac{|\rho|}{\left|\rho^2\cos^4\theta+\sin^2\theta\right|}
$$
Da qui in poi sei in un fosso e non c'è modo di uscirne... Se vi fosse modo la funzione convergerebbe.
Lo scempio da te commesso è stato quello di maggiorare seni e coseni ovunque fossero con 1, ma se questi sono a denominatore o se hanno un segno meno davanti allora sono governati da altre disuguaglianze.
Inoltre come avrai notato se vuoi maggiorare un numeratore devi dire che il numeratore è minore di qualcuno, ma se vuoi maggiorare un denominatore devi dire il denominatore è MAGGIORE di qualcuno!
Infatti quando volevi maggiorare $$\frac{1}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}$$ hai prima notato che $$\sqrt[4]{x^2+y^2}\geq \sqrt{|x|}$$
Per la seconda le disuguaglianze sono giuste, ma appunto non portano da nessuna parte, perché non avendo trovato ciò che volevi non puoi concludere nulla.
Allora sei arrivato correttamente a
$$
\left|\frac{\rho\cos^3\theta\sin\theta}{\rho^2\cos^4\theta+\sin^2\theta}\right|=\frac{|\rho||\cos^3\theta||\sin\theta|}{\left|\rho^2\cos^4\theta+\sin^2\theta\right|}
$$
E fin qui ci siamo, non abbiamo ancora maggiorato nessuno, adesso l'unica disuguaglianza che sai sulle funzioni trigonometriche è dovuta alla limitatezza, ovvero $|\cos\theta|\leq 1$ e $|\sin\theta|\leq 1$ fine.
Quindi puoi applicare questa disuguaglianza ovunque possibile ottenendo che
$$
\frac{|\rho||\cos^3\theta||\sin\theta|}{\left|\rho^2\cos^4\theta+\sin^2\theta\right|}\leq\frac{|\rho|}{\left|\rho^2\cos^4\theta+\sin^2\theta\right|}
$$
Da qui in poi sei in un fosso e non c'è modo di uscirne... Se vi fosse modo la funzione convergerebbe.
Lo scempio da te commesso è stato quello di maggiorare seni e coseni ovunque fossero con 1, ma se questi sono a denominatore o se hanno un segno meno davanti allora sono governati da altre disuguaglianze.
Inoltre come avrai notato se vuoi maggiorare un numeratore devi dire che il numeratore è minore di qualcuno, ma se vuoi maggiorare un denominatore devi dire il denominatore è MAGGIORE di qualcuno!
Infatti quando volevi maggiorare $$\frac{1}{\sqrt[4]{x^2+y^2}}$$ hai prima notato che $$\sqrt[4]{x^2+y^2}\geq \sqrt{|x|}$$
Per la seconda le disuguaglianze sono giuste, ma appunto non portano da nessuna parte, perché non avendo trovato ciò che volevi non puoi concludere nulla.
Grazie ancora per le delucidazioni|
Quindi trovandosi in una situazione come quella trattata l'unico modo è trovare una direzione per cui far vedere che il limite non esiste.
In poche parole quando il limite dipende da $ sinvartheta $ o $ cosvartheta $, in particolare a denominatore, non si può concludere, in quanto non si può trovare una funzione che dipenda solo da $ rho $ giusto?
Se invece la situazione fosse stata inversa, del tipo: $ (|rho^2cos^4vartheta+sin^2vartheta|)/|rho| $
Si poteva tranquillamente effettuare la maggiorazione -> $ <=(rho^2+1)/|rho| $ , oppure è meglio che smetto di scrivere? xD
Vorrei fissare bene i concetti per non trovarmi all'esame a maggiorare in modi poco eleganti come il post precedenti
Quindi trovandosi in una situazione come quella trattata l'unico modo è trovare una direzione per cui far vedere che il limite non esiste.
In poche parole quando il limite dipende da $ sinvartheta $ o $ cosvartheta $, in particolare a denominatore, non si può concludere, in quanto non si può trovare una funzione che dipenda solo da $ rho $ giusto?
Se invece la situazione fosse stata inversa, del tipo: $ (|rho^2cos^4vartheta+sin^2vartheta|)/|rho| $
Si poteva tranquillamente effettuare la maggiorazione -> $ <=(rho^2+1)/|rho| $ , oppure è meglio che smetto di scrivere? xD
Vorrei fissare bene i concetti per non trovarmi all'esame a maggiorare in modi poco eleganti come il post precedenti
Stai generalizzando un po' troppo...
Allora innanzi tutto non è detto che se hai seni e coseni a denominatore allora tu sia spacciato, perché magari con delle oculate maggiorazioni puoi fare in modo che i termini a numeratore elidano quelli a denominatore.
Nel nostro caso non era possibile, poiché i seni e coseni a numeratore erano di grado minore rispetto a quelli a denominatore.
In secondo luogo, l'esempio citato non converge... perché $\frac{\rho^2+1}{\rho}\to \infty$ per $\rho\to 0$ quindi non hai concluso la convergenza...
Allora innanzi tutto non è detto che se hai seni e coseni a denominatore allora tu sia spacciato, perché magari con delle oculate maggiorazioni puoi fare in modo che i termini a numeratore elidano quelli a denominatore.
Nel nostro caso non era possibile, poiché i seni e coseni a numeratore erano di grado minore rispetto a quelli a denominatore.
In secondo luogo, l'esempio citato non converge... perché $\frac{\rho^2+1}{\rho}\to \infty$ per $\rho\to 0$ quindi non hai concluso la convergenza...
Si si la convergenza non si conclude, ero solo per chiarire se quella maggiorazione era lecita oppure no.
Che dire, grazie davvero tante per l'aiuto, cercherò di fissare molto bene i concetti sui limiti per l'esame, se ho altri problemi al massimo scriverò ancora qui
Che dire, grazie davvero tante per l'aiuto, cercherò di fissare molto bene i concetti sui limiti per l'esame, se ho altri problemi al massimo scriverò ancora qui
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