Limiti funzioni a due variabili

[Raffo171]

Ciao a tutti,

sono nuovo del forum ma è da un pò che vi seguo ormai.. Innanzi tutto complimenti! Il sito è davvero ben fatto e c'è molta gente competente.. Spero che riusciate a dare una mano pure a me.. Ho iniziato da qualche giorno a studiare Analisi II e devo dire che è molto più complicato di quanto pensassi.. In ogni caso ora sto cercando di risolvere i limiti.. Da quanto ho capito ci sono in generale tre metodi da poter untilizzare per verificare l'esistenza del limite in un certo punto:

Metodo di restrizione (verificando il diverso fascio di rette passanti per il punto)

Metodo di verifica sugli assi ( verificando che i limiti sia da destra che da sinistra del punto siano uguali prima con $ x=0 $ poi con $ y=0$)

Metodo delle coordinate polari( ponendo $ x = rho cos theta $ e $ y = rho sin theta $ )

Giusto?? Se ho detto qualche idiozia per favore correggetemi!!

Detto questo volevo proporvi un esercizio:

$ f(x,y) = (1 - e^(x^2 + y^2))/ sqrt(x^2 + y^2) $

posto lo funzione uguale a 0 devo studiare la continuità in (0,0).

Io avevo pensato di procedere in questo modo:

utilizzando il metodo di verifica sugli assi mi trovo che tutti i limiti sono uguali a zero e automaticamente, esistendo il limite, la funzione è continua in quel punto.

Va bene come ragionamento? E se si ho fatto bene i calcoli??

Grazie in anticipo a tutti quelli che risponderanno!

****************************************************************************
Non mettere troppi simboli del dollaro, basta uno all'inizio e uno alla fine della formula.
Inoltre $rho $ si scrive come rho preceduto e seguito dal simbolo del dollaro.
Analogamante $theta $ si scrive come theta sempre preceduto e seguito dal dollaro.
Camillo

[walter891]

Quando la funzione è scritta in questo modo conviene sempre usare le coordinate polari perchè usando la relazione fondamentale della goniometria si semplificano molto i conti. In pratica $lim_((x,y) to 0) (1-e^(x^2+y^2))/sqrt(x^2+y^2)$ diventa $lim_(rho to 0) (1-e^(rho^2(cos(theta))^2+rho^2(sin(theta))^2))/sqrt(rho^2(cos(theta))^2+rho^2(sin(theta))^2)=lim_(rho to 0) (1-e^(rho^2))/rho$

[enr87]

non è così immediato, ci sono teoremi che vanno studiati e capiti, e poi si ha il quadro generale di come fare a calcolare i limiti.
intanto ti do alcune dritte: quello che tu chiami metodo di restrizione è in realtà un teorema con relativa dimostrazione, e non si limita a fasci di rette (che in realtà ti danno poche informazioni sull'effettivo risultato), ma impegna tutte le possibili restrizioni del dominio che abbiano x0 (supposto punto a cui fai tendere il vettore x) come punto di accumulazione.
per il metodo di verifica sugli assi, tieni presente quello che ti ho detto appena adesso: è ancora più limitato di quello di verifica sui fasci di rette. e pure per il metodo con le coordinate polari ci sarebbero parecchi puntini da mettere sulle i. sarebbe meglio se usassi un libro di testo, perchè così rischi di fare parecchia confusione (io ho il bertsch-dalpasso-giacomelli, e questa parte viene affrontata abbastanza bene, se per caso adotti lo stesso libro puoi seguirlo tranquillamente).

il limite da te proposto è $lim_{(x,y) to (0,0)} (1-e^(x^2+y^2))/sqrt(x^2+y^2)$. passando alle coordinate polari ottieni:

$lim_{rho to 0^+} (1-e^(rho^2))/rho = lim_{rho to 0^+} (1-(1+rho^2 + o(rho^2))) /rho = lim_{rho to 0^+} (-rho^2 + o(rho^2)) /rho = 0$

ora si dovrebbe verificare che il sup, al variare di $theta$, di $ |(1-e^(rho^2))/rho - 0|$ (per $rho to 0^+$), è 0. ma in questo caso è ovvio, non avendo l'argomento del limite alcuna dipendenza da $theta$

ps: ho solo aggiunto un paio di cose in più di walter89

[Raffo171]

Ringrazio entrambi per le risposte e chiedo scusa a Camillo

"enr87": sarebbe meglio se usassi un libro di testo, perchè così rischi di fare parecchia confusione

Già uso un libro di testo è il "Fusco Marcellini Sbordoni".

"ern87":non è così immediato, ci sono teoremi che vanno studiati e capiti, e poi si ha il quadro generale di come fare a calcolare i limiti.

Quello che ho capito io dal libro è questo:

1°Metodo: Si dice che f(x,y) converge ad l per (x,y) che tende ad (x_0, y_0) se qualunque sia $epsilon>0$ si ha

$|f(x,y) - l|
per ogni (x,y) ed inoltre $sqrt((x - x_0)^2 + (y-y_0)^2)
In particolare l'insieme dei punti soddisfacenti quest'ultima condizione e costituiscono il cerchio di centro (x_0, y_0) privato del suo centro.
Se invece di considerare tutti i punti interni al cerchio consideriamo i punti di tale insieme che appartengono ad una generica retta passante per il centro si ottiene un determinato limite che è uguale per tutte le altre rette che soddisfano la condizione.

2°Metodo: Dalla condizione necessaria affinche esista il limite della funzione

$ lim_((x,y) -> (x_0, y_0) ) f(x,y)=l $

si deduce l'altra condizione necessaria cioè che siano fra loro uguali i limiti lungo le due rette parallele agli assi coordinanti di equazione

$y=costante$ e $x=costante$ da cui si ottiene

$ lim_((x) -> (x_0) ) f(x,y_0)= lim_((y) -> (y_0) ) f(x_0,y)=l$

Il terzo metodo l'ho appreso leggendo alcuni post

Essendo quindi condizioni necessarie io ho capito che se non si verifica una delle tre il limite non esiste, per questo ho tratto quel tipo di conclusione nell'esercizio proposto.
Quindi raga il sistema che ho detto io nn va bene?

[enr87]

"Raffo17":

1°Metodo: Si dice che f(x,y) converge ad l per (x,y) che tende ad (x_0, y_0) se qualunque sia $epsilon>0$ si ha

$|f(x,y) - l|
per ogni (x,y) ed inoltre $sqrt((x - x_0)^2 + (y-y_0)^2)
In particolare l'insieme dei punti soddisfacenti quest'ultima condizione e costituiscono il cerchio di centro (x_0, y_0) privato del suo centro.
Se invece di considerare tutti i punti interni al cerchio consideriamo i punti di tale insieme che appartengono ad una generica retta passante per il centro si ottiene un determinato limite che è uguale per tutte le altre rette che soddisfano la condizione.

sei proprio sicuro siano le stesse identiche parole riportate dal testo? perchè mi pare ci sia qualche grave lacuna

[Raffo171]

Dov'e' il problema enr?

[enr87]

riporta esattamente le parole del testo e te lo mostro

[Raffo171]

ok anche se non capisco il perchè non potevi dirmelo lo stesso..

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[enr87]

"Raffo17":ok anche se non capisco il perchè non potevi dirmelo lo stesso..

perchè sennò non impari a leggere e capire il libro. avrei fatto prima a darti semplicemente la risposta corretta, ma non è nel tuo interesse.
quello che è scritto si "sintetizza" così: per l finito, si dice che f(x,y) tende ad l per (x,y) che tende a (x0,y0) se per ogni $epsilon > 0 exists delta > 0$ tale che $|f(x,y)-l| < epsilon$ se $|(x,y) - (x_0,y_0)| < delta $ con $(x,y) in A$.
nel testo, la virgola dopo la A si legge "tale che". ora è chiaro il significato e cosa sbagliavi nella tua definizione?

[Raffo171]

provo a cercare di capire quello che mi vuoi dire:

"enr87":nel testo, la virgola dopo la A si legge "tale che"

questo significa il limite converge ad l se in base a tutte le condizioni dette precedentemente accade soprattutto che la quantità sotto la radice sia minore di delta.. giusto?

[enr87]

non c'entra il soprattutto, non c'è una condizione più importante di un'altra.
se vuoi si può riparafrasare così: fissato un $epsilon$ opportunamente piccolo, ammettiamo che non esista un tale delta, cioè non è vero che $|f(x,y) - l| < epsilon$ se $(x,y) to (x_0, y_0)$. allora concludi che l non è il limite di f.
facciamo un esempio nel caso a una variabile: è vero che f(x)=2x tende a 10 se x tende a 4? intuitivamente è facile, ma provalo con la definizione di limite: quello che vedi è che non esiste alcun intorno di 4 (e quindi alcun delta) tale che, se x appartiene a questo intorno, allora la differenza in valore assoluto tra 2x e 10 è "piccola" (minore di $epsilon$)

[Raffo171]

ok enr credo di aver capito.. è stata un'incomprensione che però hai fatto bene a sottolineare.. quindi ritornando all'esercizio iniziale lo svolgimento è fatto bene oppure no? o comunque devo approfondire qualcos'altro per la risoluzione dei limiti oppure mi basta questo?

[enr87]

il problema è che devi provare che il limite esiste, mentre mi pare che lo dai per scontato. e per provarlo devi usare la definizione, oppure guardare cosa succede con le coordinate polari (considerando anche che hai il parametro theta).
quello che ti consiglio è guardare tanti esercizi svolti, così ti fai un'idea di come si deve procedere.

[lobacevskij]

X Raffo17: anch'io ho il tuo stesso libro di testo. A pagina 43 (o comunque nel paragrafo "limiti e continuità") c'è un unico es, ma in esso è illustrato quello che bisogna dimostrare.

Enr87, correggimi se sbaglio, ma il "metodo degli assi" (cioè porre alternativamente x o y=0 e fare il limite dell'altra incognita) è utile se, non conoscendo il limite, vuoi farti un'idea di quanto possa essere. Mi spiego: voglio calcolare il limite di una certa f(x,y) ma non ho nessuna idea del risultato; se il "metodo degli assi" mi fornisce due valori uguali (se sono due valori distinti, allora posso dire che il limite non esiste), allora posso ipotizzare che tale valore sia proprio il limite della funzione. Ma per poterlo affermare devo fare la verifica di cui sopra.

Visto che sono anch'io alle prese con questi temi, propongo un quesito. Devo dimostrare che

$ lim_((h,k) -> (0,0)) [(h^2*k^2) /sqrt((h^2+k^2)^3)]=0 $

Nel libro ho visto che si cerca sempre di ricondursi ad una disequazione che mi permetta di sceglierse un delta tale che $ sqrt(h^2+k^2)< delta $

E' giusto allora procedere in questo modo?

essendo $ h^2*k^2 leq 1/4(h^2+k^2)^2 $ allora $ (h^2*k^2) /sqrt((h^2+k^2)^3) leq (h^2+k^2)^2/sqrt((h^2+k^2)^3) leq sqrt(h^2+k^2) $

e dunque , per ogni epsilon>0, posto delta=sqrt(epsilon), avere $ sqrt(h^2+k^2) < delta $ e il limite è verificato

[Raffo171]

"enr87":il problema è che devi provare che il limite esiste, mentre mi pare che lo dai per scontato. e per provarlo devi usare la definizione, oppure guardare cosa succede con le coordinate polari (considerando anche che hai il parametro theta).

Quindi prima di svolgere un qualsiasi limite verifico la sua possibile esistenza, ad esempio guardando cose succede considerando un fascio di rette, poi lo calcolo. Ma quindi alla fine l'unico vero modo per calcolare il limite è solo quello delle coordinate polari perchè gli altri più che altro servono a dimostrare la non esistenza, giusto?

"lobacevskij":X Raffo17: anch'io ho il tuo stesso libro di testo. A pagina 43 (o comunque nel paragrafo "limiti e continuità") c'è un unico es, ma in esso è illustrato quello che bisogna dimostrare.

Nel libro ho visto che si cerca sempre di ricondursi ad una disequazione che mi permetta di sceglierse un delta tale che $ sqrt(h^2+k^2)< delta $

Si lo so ma sinceramente non riesco a seguirlo. Tu capisci il perche di quelle disequazioni? Cioè in teoria capisco perchè vuole fare in quel modo ma se lo dovessi fare io su un qualsiasi altro esercizio avrei difficoltà.

comunque per il limite io ragionerei così (chiedo aiuto ad enr per la correzione ):


$ lim_((h,k) -> (0,0)) [(h^2*k^2) /sqrt((h^2+k^2)^3)]=0 $

Innanzi tutto verifico se il limite esiste:

Mi calcolo il limite ponendo prima $h=0$ e poi $k=0$. In entrambi i casi l'unico risultato è 0.
Provo poi a calcolare il limite ponendo $k=mh$ e anche in questo caso, indipendentemente da m, il risultato è 0.
A questo punto credo di poter affermare che se il limite esiste è 0!

Utilizzo le coordinate polari e ponendo $h=rhosentheta$ e $k=rhocostheta$. Ottengo:

$ lim_((rho) -> (0)) (rho^4 sen^2theta cos^2theta) /sqrt((rho^2(sen^2theta + cos^2theta)^3)]= lim_((rho) -> (0)) (rho^4 sen^2theta cos^2theta) /sqrt((rho^2)^3)= lim_((rho) -> (0)) rho (sen^2theta cos^2theta)= 0$ indipendentemente dai valori di $theta$

[lobacevskij]

Beh, diciamo che ricorre a quelle disequazioni proprio mettersi nella condizione che nel libro è indicata con (10.2). In definitiva si tratta sempre di ricondursi a quella forma, cosa che effettivamente non è sempre semplice
Nel limite che ho proposto infatti cerco di ricondurmi a quella formula, ma non so se lo faccio nel modo corretto. Comunque anch'io prima avevo verificato, come hai fatto tu, che lungo gli assi e lungo una retta venga sempre 0. Diciamo che sono verifiche parziali e INCOMPLETE.

Coordinate polari: forse possono aiutare, ma non sono sicuro che possano sempre risolvere un limite. Magari ci si può incagliare pure con quelle in alcuni casi.

[enr87]

si può fare anche senza le coordinate polari, ti mostro cosa intendevo per verificare il limite. per prima cosa cerchi di vedere cosa succede lungo una restrizione, poi verifichi se effettivamente quello he trovi è il limite. andiamo al dunque:

$ lim_((h,k) -> (0,0)) (h^2*k^2) /sqrt((h^2+k^2)^3) $

se provassi lungo la retta h = k, vedresti subito che il numeratore è infinitesimo di ordine superiore rispetto al denominatore, quindi questo fa pensare che il limite sia 0.
guardiamo se è vero, cercando opportune maggiorazioni:

$|(h^2*k^2) /sqrt((h^2+k^2)^3) - 0| <= (h^2*k^2) /sqrt((2|hk|)^3) = |hk|^2 /(sqrt(8) |hk|^(3/2))) = sqrt(|hk|) / sqrt(8) < epsilon$ in un intorno di (0,0).

[Alexp1]

Sui limiti per funzioni a due variabili, se n'era già parlato ampiamente qui, prova a darci un'occhiata. ciao

[lobacevskij]

In definitiva possiamo dire che, una volta calcolato il limite (con coordinate polari o con altri metodi), possiamo affermare che quello E' il limite solo se facciamo la verifica, giusto?

E quindi si ritorna al punto che segnalavo io, ossia riportarsi ad una certa disuguaglianza (che nel caso del testo di Fusco, Sbordone et al. è
enr87: ammesso che entrambe siano giuste, che differenza c'è tra le disequazioni a cui siamo giunti. Voglio dire, abbiamo dimostrato l'esistenza di delta ed epsilon, ma il fatto che vengano differenti cosa implica?

[Raffo171]

"lobacevskij":Beh, diciamo che ricorre a quelle disequazioni proprio mettersi nella condizione che nel libro è indicata con (10.2).

Si infatti questo mi era chiaro il problema è come ci si arriva?

"lobacevskij":In definitiva possiamo dire che, una volta calcolato il limite (con coordinate polari o con altri metodi), possiamo affermare che quello E' il limite solo se facciamo la verifica, giusto?

A questo punto non mi è chiara una cosa: se io calcolo il limite ad esempio su un fascio di rette non sono sicuro che calcolandolo su una specifica il risultato che mi viene sia giusto a prenscindere perchè dovrei verificare che sia lo stesso per tutte le altre infinite rette di quel fascio. Ora anche il sistema delle coordinate polari non è sicuro? Cioè ho bisogno sempre di qualcosa che mi dica che il risultato sia effettivamente quello?

EDIT: Ok mi sono risposto da solo leggendo il post che Alexp mi ha gentilmente consigliato. NON BASTA!
Ora mi rendo conto che dopo aver ipotizzato la probabile esistenza del limite con uno dei tre metodi lo devo anche giustificare trovando il famoso intorno, quella quantità <$delta$ che ci garantisce l'esistenza del limite.. Però non ho capito come.. Enr aiutamii!!

[enr87]

"lobacevskij":In definitiva possiamo dire che, una volta calcolato il limite (con coordinate polari o con altri metodi), possiamo affermare che quello E' il limite solo se facciamo la verifica, giusto?

E quindi si ritorna al punto che segnalavo io, ossia riportarsi ad una certa disuguaglianza (che nel caso del testo di Fusco, Sbordone et al. è
enr87: ammesso che entrambe siano giuste, che differenza c'è tra le disequazioni a cui siamo giunti. Voglio dire, abbiamo dimostrato l'esistenza di delta ed epsilon, ma il fatto che vengano differenti cosa implica?

scusa ma sopra non avevo visto il tuo post. è corretto anche il tuo, anzi, direi che va anche meglio perchè metti bene in evidenza come prendere il raggio $delta$ della palla (intorno) del punto di accumulazione.
per il resto vedo che hai tratto la conclusione corretta: il limite che trovi lungo una restrizione, che sia un fascio di rette, di parabole, o anche solo una retta.. va sempre verificato con la definizione, perchè è l'unica maniera di assicurarti che in ogni punto "molto vicino" ad $(x_0, y_0)$, la funzione abbia valori che tendono ad $l$.