Limiti funzione due variabili
potete aiutarmi a risolvere
lim (x,y) => (0,0) sen(x^2 * y) / (x^4 + y^2)
Grazie
lim (x,y) => (0,0) sen(x^2 * y) / (x^4 + y^2)
Grazie
Risposte
Metti tutto in coordinate polari:
x = r cos(t)
y = r sin(t)
per r che tende a 0 il seno si confonde col suo argomento... Inoltre r^4*cos(t)^4 è piccolo rispetto a r^2*sin(t)^2 e la frazione diventa quindi
r * [cos(t)]^2 / sin(t)
che tende a 0 per r che tende a 0
x = r cos(t)
y = r sin(t)
per r che tende a 0 il seno si confonde col suo argomento... Inoltre r^4*cos(t)^4 è piccolo rispetto a r^2*sin(t)^2 e la frazione diventa quindi
r * [cos(t)]^2 / sin(t)
che tende a 0 per r che tende a 0
citazione:
potete aiutarmi a risolvere
lim (x,y) => (0,0) sen(x^2 * y) / (x^4 + y^2)
Grazie
In realtà tale limite non esiste perchè se prendo una generica retta y=mx il limite sembrerebbe 0, però se prendo la curva y=x^2 il limite vale 1/2 quindi ho trovato almeno due valori diversi per (x,y) tendenti a (0,0).
verissimo! sorry per la svista...
Ciao,il ragionamento di goblyn sembra corretto, però il risultato a cui giunge non lo è ; infatti
conclude che il limite esiste e vale 0, mentre viene dimostrato da dazuco che non è così.
Mi chiedo a questo punto : come ci si regola per il calcolo del limite di una funzione di 2
variabili , in modo da non incorrere in errori?
Grazie a chi vorrà rispondere.
Camillo
conclude che il limite esiste e vale 0, mentre viene dimostrato da dazuco che non è così.
Mi chiedo a questo punto : come ci si regola per il calcolo del limite di una funzione di 2
variabili , in modo da non incorrere in errori?
Grazie a chi vorrà rispondere.
Camillo
ciao a tutti.
dice Camillo "...il ragionamento di goblyn sembra corretto...".
obietto: siamo sicuri che la premessa di Goblyn
x = r cos(t)
y = r sin(t)
per r che tende a 0 il seno si confonde col suo argomento
sia corretta?
tony
dice Camillo "...il ragionamento di goblyn sembra corretto...".
obietto: siamo sicuri che la premessa di Goblyn
x = r cos(t)
y = r sin(t)
per r che tende a 0 il seno si confonde col suo argomento
sia corretta?
tony
Avevo concluso che
r * [cos(t)]^2 / sin(t)
tendesse a 0. Ma questo è vero se suppongo che r e t non siano legati.
Avvicinandosi a (0;0) lungo una retta t è costante e r non dipende qundi da t. In tal caso il limite è 0. Lungo una parabola r e t sono legati (precisamente dalla relazione che, in coordinate polari, descrive la parabola). Cioè t=t(r) (o viceversa...). A questo punto il limite può tranquillamente essere diverso da 0 ovviamente.
Quando si procede come ho fatto io bisogna sempre tener conto che in generale una coordinata è funzione dell'altra!!!
r * [cos(t)]^2 / sin(t)
tendesse a 0. Ma questo è vero se suppongo che r e t non siano legati.
Avvicinandosi a (0;0) lungo una retta t è costante e r non dipende qundi da t. In tal caso il limite è 0. Lungo una parabola r e t sono legati (precisamente dalla relazione che, in coordinate polari, descrive la parabola). Cioè t=t(r) (o viceversa...). A questo punto il limite può tranquillamente essere diverso da 0 ovviamente.
Quando si procede come ho fatto io bisogna sempre tener conto che in generale una coordinata è funzione dell'altra!!!
appunto tony... abbiamo scritto in contemporanea. Comunque la tua obiezione è giusta e si riconduce a quanto ho detto nel mio ultimo post
Grazie a Tony e Goblyn per le loro osservazioni ; però resta ancora senza risposta la mia domanda di base che è : quale è la strada maestra per calcolare i limiti di funzioni di 2 variabili senza incorrere in sviste od errori ?
D'altronde ci deve essere un modo che vada bene in tutti i casi .
Nell'esempio sopraindicato se si considerava y= m*x, il limite esisteva e valeva 0; invece considerando y= m*x^2( ho provato per dare maggiore generalità e si ottengono valori diversi da 0 e diversi tra loro secondo il valore di m( più precisamente si ottiene : m/(1+m^2)): quindi il limite non esiste .
Ma l'aver provato a vedere come si comportava la funzione lungo una parabola mi sembra il frutto di una inventiva utile , ma anche di un pò di fortuna( o esperienza) ; ma se uno non è fortunato ? o se per capire come vanno le cose bisogna studiarle lungo una curva complicatissima e che non verrebbe in mente a nessuno?
Grazie a chi vorrà rispondermi.
ciao
Camillo
D'altronde ci deve essere un modo che vada bene in tutti i casi .
Nell'esempio sopraindicato se si considerava y= m*x, il limite esisteva e valeva 0; invece considerando y= m*x^2( ho provato per dare maggiore generalità e si ottengono valori diversi da 0 e diversi tra loro secondo il valore di m( più precisamente si ottiene : m/(1+m^2)): quindi il limite non esiste .
Ma l'aver provato a vedere come si comportava la funzione lungo una parabola mi sembra il frutto di una inventiva utile , ma anche di un pò di fortuna( o esperienza) ; ma se uno non è fortunato ? o se per capire come vanno le cose bisogna studiarle lungo una curva complicatissima e che non verrebbe in mente a nessuno?
Grazie a chi vorrà rispondermi.
ciao
Camillo
Certo, il trucco della parabola va benissimo come controesempio... non può essere una strada generale!
Basta un po' d'attenzione. Quando sono arrivato a scrivere:
r * [cos(t)]^2 / sin(t)
ho commesso un errore sciocco! Se r-->0 chi l'ha mai detto che quel prodotto tende a 0?! Dipende tutto dal secondo fattore, cioè dipende da come mi avvicino all'origine. Siccome tale fattore può benissimo tendere a +inf (basta che per r-->0 t tenda a 0, e se ci fai caso l'angolo formato dalla tangente alla parabola nell'origine è proprio 0...) il limite può essere 0 infinito o altro. Avrei dovuto concludere che il limte fosse 0 solo se avessi verificato che il secondo fattore tendesse ad un numero finito (o 0) indipendentemente da come r tende a 0.
Quindi il procedimento usuale è sicuro, basta un po' d'attenzione.
Modificato da - goblyn il 06/09/2003 11:49:35
Basta un po' d'attenzione. Quando sono arrivato a scrivere:
r * [cos(t)]^2 / sin(t)
ho commesso un errore sciocco! Se r-->0 chi l'ha mai detto che quel prodotto tende a 0?! Dipende tutto dal secondo fattore, cioè dipende da come mi avvicino all'origine. Siccome tale fattore può benissimo tendere a +inf (basta che per r-->0 t tenda a 0, e se ci fai caso l'angolo formato dalla tangente alla parabola nell'origine è proprio 0...) il limite può essere 0 infinito o altro. Avrei dovuto concludere che il limte fosse 0 solo se avessi verificato che il secondo fattore tendesse ad un numero finito (o 0) indipendentemente da come r tende a 0.
Quindi il procedimento usuale è sicuro, basta un po' d'attenzione.
Modificato da - goblyn il 06/09/2003 11:49:35
ciao a tutti.
Io ho lavorato così, in modo elementare:
1- passo a coord. polari; la z(x,y) diventa z(r,t)
2- fisso un r e studio la z(t); praticamente seziono la superficie con un cilindro di raggio r e lo sviluppo sul piano.
3- mi accorgo che la curva in esame ha massimi e minimi a cavallo di
t=0 e t=pi
4- se la differenza tra questi massimi e minimi non tende a 0 diminuendo r, il limite della z sarà diverso a seconda della direzione di arrivo al punto in esame; al contrario direi che il limite esiste.
5- nel caso del nostro problema diminuendo r la curva z(t) non solo mantiene caparbiamente in vita max e min facendoli tendere a +- 0.5, ma li sposta, avvicinandoli fino a provocare (al limite) una discontinuità: il lim per t=0+ è diverso da quello per 0-.
tony
Io ho lavorato così, in modo elementare:
1- passo a coord. polari; la z(x,y) diventa z(r,t)
2- fisso un r e studio la z(t); praticamente seziono la superficie con un cilindro di raggio r e lo sviluppo sul piano.
3- mi accorgo che la curva in esame ha massimi e minimi a cavallo di
t=0 e t=pi
4- se la differenza tra questi massimi e minimi non tende a 0 diminuendo r, il limite della z sarà diverso a seconda della direzione di arrivo al punto in esame; al contrario direi che il limite esiste.
5- nel caso del nostro problema diminuendo r la curva z(t) non solo mantiene caparbiamente in vita max e min facendoli tendere a +- 0.5, ma li sposta, avvicinandoli fino a provocare (al limite) una discontinuità: il lim per t=0+ è diverso da quello per 0-.
tony
Ciao a tutti.
Osservava Camillo nel suo msg "Posted - 06/09/2003 : 11:34:05" che, seguendo la parabola y=m*x^2 la funz. tende a m/(1+m^2).
Può essere interessante notare che, sostituendo m con 1/m, si ottiene lo stesso risultato: sulla parabola (1/m)*x^2 la funz. tende ancora a m/(1+m^2).
In poche parole, le due parabole citate (in progressione armonica 1/m, 1, m con quella originale) tengono perfettamente "a sandwich" la parabola centrale, che è la traccia del crinale della montagna (o, nell'altro semipiano, del fondo della fossa) costruendone due linee dei fianchi, che si assottigliano avvicinandosi all'origine.
E, in coordinate cilindriche, ne esce il diagramma che ho descritto nel post precedente.
tony
Osservava Camillo nel suo msg "Posted - 06/09/2003 : 11:34:05" che, seguendo la parabola y=m*x^2 la funz. tende a m/(1+m^2).
Può essere interessante notare che, sostituendo m con 1/m, si ottiene lo stesso risultato: sulla parabola (1/m)*x^2 la funz. tende ancora a m/(1+m^2).
In poche parole, le due parabole citate (in progressione armonica 1/m, 1, m con quella originale) tengono perfettamente "a sandwich" la parabola centrale, che è la traccia del crinale della montagna (o, nell'altro semipiano, del fondo della fossa) costruendone due linee dei fianchi, che si assottigliano avvicinandosi all'origine.
E, in coordinate cilindriche, ne esce il diagramma che ho descritto nel post precedente.
tony
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